结论前置：53岁工厂职工被辞退且未交社保、未签劳动合同，有权主张多项权益，包括经济补偿金、未签劳动合同的双倍工资差额、补缴社保等。具体分析如下：
1. 未签劳动合同的双倍工资差额
根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付双倍工资。
- 计算方式：从入职第2个月起至第12个月，按实际工资标准计算双倍工资差额（即额外支付11个月工资）。
- 例外情形：若劳动者拒绝签订合同，或用人单位能证明已尽到诚信磋商义务（如提供合同文本但劳动者拒签），则无需支付双倍工资。
- 时效限制：申请仲裁的时效为1年，自知道或应当知道权利被侵害之日起算（通常为离职后1年内）。
2. 违法解除劳动合同的经济补偿金或赔偿金
- 经济补偿金：若用人单位以合法理由（如劳动者不能胜任工作）解除合同，需支付经济补偿金，标准为每工作1年支付1个月工资（6个月以上按1年计算，不满6个月按0.5个月计算）。
- 赔偿金：若用人单位违法解除（如无合法理由、未履行法定程序），需支付双倍经济补偿金（即每工作1年支付2个月工资）。
- 关键点：需证明解除行为的违法性（如用人单位未提供解除依据、未通知工会等）。
3. 未缴纳社保的补缴与赔偿
- 补缴社保：根据《社会保险法》，用人单位必须为劳动者缴纳社保。劳动者可要求用人单位补缴工作期间的社保（包括养老、医疗、失业、工伤、生育保险）。
- 赔偿损失：若因未缴社保导致劳动者无法享受社保待遇（如医疗费无法报销、失业金无法领取），可要求用人单位赔偿实际损失。
- 行政处罚：用人单位未缴社保的，由社保行政部门责令限期缴纳，并可能被处以罚款。
4. 其他潜在权益
- 加班费：若存在加班事实，可主张未支付的加班工资。
- 年休假工资：未安排年休假的，可主张未休年休假工资（按日工资的300%支付，含已发工资）。
- 高温津贴：若从事高温作业，可主张高温津贴（具体标准按地方规定）。
行动建议
- 收集证据：保留工资条、工作证、考勤记录、同事证言、辞退通知等证明劳动关系及工作年限的证据。
- 协商解决：与用人单位协商补缴社保、支付补偿等事宜。
- 申请仲裁：若协商无果，可在离职后1年内向劳动仲裁委员会申请仲裁，主张上述权益。
- 投诉举报：向当地社保行政部门投诉未缴社保问题，要求行政处理。
提示：劳动争议案件时效性强，建议尽快行动以维护权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。