如果公安在羁押37天后，检察院不予批捕且公安撤案，一般情况下不能直接申请国家赔偿，除非存在特定的违法情形。以下是对此问题的详细分析：

一、国家赔偿的前提

国家赔偿以“违法拘留”为前提，即拘留的合法性与合规性出现了严重的问题。如果公安机构的拘留操作是严格依照法律法规进行的，那么即使最终并未获得批准逮捕，也并不意味着需要承担政府的赔偿责任。

二、刑事拘留的性质

刑事拘留是一种临时性的强制措施，其适用主要基于司法程序的考虑。在法定的37天时间范围内，如果公安部门并未从检察机构那里取得关于批准逮捕的决定，他们按照法定程序，应当立即释放相关的被拘留人员，或者对强制措施进行相应的调整。但这并不等同于违法拘留，因此不必然引发国家赔偿。

三、可能申请国家赔偿的情形

1. 无足够证据拘留：如果能够提供有力的证据证明公安机构在拘留过程中存在违法行为，例如没有足够的犯罪证据就进行拘留，那么申请国家赔偿在理论上是可行的。
2. 超期羁押：如果存在超期羁押等违法情形，且这种违法情形与拘留行为直接相关，那么也可能构成申请国家赔偿的理由。但在此案例中，由于检察院不予批捕，且公安撤案，通常不存在超期羁押的问题。

四、申请国家赔偿的流程与证据

即使符合国家赔偿的条件，申请赔偿的流程以及需要提供的证据等也至关重要。一般来说，申请国家赔偿需要提交书面申请，并提供相关证据证明拘留行为的违法性。这些证据可能包括拘留决定书、释放证明、相关证人证言等。

五、建议与后续行动

1. 核实拘留合法性：首先，您需要核实公安机构的拘留行为是否严格依照法律法规进行。如果存在任何违法或不合规的情形，您应收集相关证据。
2. 咨询专业律师：由于国家赔偿的申请涉及复杂的法律程序和证据要求，我建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议。作为专业律师，我可以为您提供详细的法律分析和申请策略。
3. 关注案件进展：在公安撤案后，您应关注案件的后续进展，确保自己的合法权益得到保障。如果发现任何违法或不当行为，应及时采取法律措施。

如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和支持。