结论：刑事拘留37天后检察院不起诉，是否可以申请国家赔偿，需根据拘留的合法性及是否造成实际损害等具体情况综合判断。若拘留存在违法或错误，且最终被判定无罪，则可申请；若拘留依法进行，或虽未起诉但存在其他依法限制人身自由的情形，则不可申请。以下为具体分析：
一、可以申请国家赔偿的情况
拘留违法或超期：
- 若公安机关在刑事拘留过程中存在违法行为，如没有法定拘留依据、超过羁押期限等，且最终检察院决定不起诉，表明当事人无罪，则当事人有权申请国家赔偿。例如，若拘留时间超过了刑事诉讼法规定的37天最长期限，超出部分即视为违法拘留，当事人可就超出部分申请赔偿。
错误拘留导致无罪：
- 若当事人被错误认定为犯罪嫌疑人并被刑事拘留37天，但最终检察院决定不起诉，证明当事人无罪，且拘留行为缺乏合法依据，则当事人同样有权申请国家赔偿。例如，因证据不足或新证据出现导致检察院不起诉，且拘留行为本身存在问题的，可申请赔偿。
二、不能申请国家赔偿的情况
拘留依法进行且未造成实际损害：
- 若拘留是依法进行的，即司法机关有确凿证据证明被拘留人实施了犯罪行为，且符合法定拘留条件，即使最终检察院决定不起诉，也不构成国家赔偿的情形。因为在此情况下，拘留并未造成当事人实际的人身自由损害（如因证据不足等原因未定罪，但拘留行为本身合法）。
存在其他依法限制人身自由的情形：
- 若在刑事拘留期间，当事人因其他依法限制人身自由的情形（如取保候审、监视居住等）导致实际未被羁押满37天，且最终检察院决定不起诉，则当事人无权就未羁押部分申请国家赔偿。因为这些情形并不构成违法拘留或错误拘留。
三、申请国家赔偿的程序
提交赔偿申请：
- 当事人或其近亲属应向作出拘留决定的公安机关提交书面赔偿申请，说明申请理由和请求事项。申请时应提供相关证据材料，如拘留通知书、不起诉决定书等。
受理与审查：
- 公安机关应在收到申请后依法进行审查，确认是否符合赔偿条件。审查过程中，公安机关可能会要求当事人补充相关证据材料或进行进一步调查。
作出赔偿决定：
- 若符合赔偿条件，公安机关应依法作出赔偿决定，并支付相应的赔偿金。赔偿金的标准和计算方式应按照《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定执行。
复议与诉讼：
- 若对赔偿决定不服，当事人可依法申请复议或提起行政诉讼。复议机关或法院将对赔偿决定进行审查，并作出最终裁决。
四、法律依据
- 《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条：行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时，存在违反刑事诉讼法的规定对公民采取拘留措施的，或者依照刑事诉讼法规定的条件和程序对公民采取拘留措施，但是拘留时间超过刑事诉讼法规定的时限，其后决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪终止追究刑事责任的情形之一的，受害人有取得赔偿的权利。
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