结论：公安机关刑事拘留后被检察院不予起诉，若符合法定情形，受害人有权申请国家赔偿。赔偿的可行性与具体情形紧密相关，需严格依据《中华人民共和国国家赔偿法》及相关法律法规进行判断。
可以申请赔偿的情形
违反刑事诉讼法规定的条件采取拘留措施：
- 刑事拘留必须符合法定条件，如公安机关对于现行犯或重大嫌疑分子，在特定情形下（如正在预备犯罪、实行犯罪或犯罪后即时被发觉）才可先行拘留。若公安机关在不符合这些条件的情况下对公民采取了拘留措施，且案件后续未起诉，则受害人有权申请国家赔偿。
- 举例：若公安机关在没有确凿证据表明某人是现行犯或重大嫌疑分子的情况下，仅凭怀疑就对其采取了刑事拘留措施，且最终检察院决定不起诉，那么该公民有权申请国家赔偿。
违反刑事诉讼法规定的程序采取拘留措施：
- 拘留不仅需符合法定条件，还需遵循法定程序，如出示拘留证等。若公安机关未按照法定程序进行拘留，最终导致案件不起诉，受害人可依法申请国家赔偿。
- 举例：若公安机关在拘留某公民时未出示拘留证，或者拘留证上的信息与实际情况不符，且最终检察院决定不起诉，那么该公民有权申请国家赔偿。
拘留时间超过刑事诉讼法规定的时限，其后决定不起诉：
- 刑事诉讼法对拘留期限有严格限制，如一般情况下提请人民检察院审查批准逮捕的时间为拘留后的三日以内，特殊情况下可延长。若拘留时间超出法定期限，且案件后续被决定不起诉，受害人有权要求国家赔偿。
- 举例：若某公民被刑事拘留后，公安机关未在法定期限内提请检察院审查批准逮捕，且最终检察院决定不起诉，那么该公民有权申请国家赔偿。
不可以申请赔偿的情形
尽管在某些情况下刑拘后不起诉可以要求赔偿，但以下情形除外：
因公民自己故意作虚伪供述或伪造其他有罪证据被羁押：
- 如公民为给真正犯罪人顶罪而故意向司法机关作虚假有罪供述，导致被刑事拘留，即使案件后续不起诉，也不能要求国家赔偿。
依照刑法规定不负刑事责任的人被羁押：
- 包括已满十四周岁不满十六周岁、已满十二周岁不满十四周岁的人在特定情形下才负刑事责任，以及精神病人在不能辨认或控制自己行为时造成危害结果不负刑事责任的情况。这些不负刑事责任的人被羁押时，国家不承担赔偿责任。但若已执行刑罚，则有权依法取得赔偿，判决确定前被羁押的日期不予赔偿。
依照刑事诉讼法规定不追究刑事责任的人被羁押：
- 如情节显著轻微、危害不大不认为是犯罪的；犯罪已过追诉时效期限的；经特赦令免除刑罚的等情形。在这些情形下被羁押的人不能要求国家赔偿。
申请赔偿的程序与注意事项
- 赔偿义务机关：行使侦查、检察、审判职权的机关及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时侵犯公民合法权益造成损害的，该机关为赔偿义务机关。在本案中，若公安机关的拘留行为违法，则公安机关为赔偿义务机关；若拘留行为合法但检察院决定不起诉，且符合赔偿条件，则检察院可能成为赔偿义务机关（具体取决于拘留与逮捕的衔接情况及最终不起诉的决定因素）。
- 申请流程：受害人需提交赔偿申请书及相关证据材料，如拘留通知书、不起诉决定书、经济损失证明等，遵循法定程序进行申请。赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内，作出是否赔偿的决定。
- 复议与诉讼：若不服复议决定或赔偿委员会作出的决定，受害人可向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
建议：若您认为自己符合申请国家赔偿的条件，建议尽快准备相关证据材料，并按照法定程序向赔偿义务机关提出申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。