核心结论：不签合同情况下受伤工人劳动关系的认定起止时间，需结合事实劳动关系及证据综合判断，一般以实际用工起始日为起点，劳动关系解除或终止日为终点。具体认定需分情况讨论。

1. 劳动关系起始时间的认定
   根据《劳动合同法》第七条及《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），劳动关系自用工之日起建立，而非以签订书面合同为前提。即使未签合同，只要工人实际为用人单位提供劳动、接受管理并获取报酬，即视为劳动关系成立。

   • 证据要求：需提供工资支付记录（如转账记录、收条）、工作证/服务证、考勤记录、工友证言、工作现场照片或视频、与用人单位沟通的聊天记录等，证明实际用工事实。
     
   • 特殊情形：若用人单位否认劳动关系，工人可申请劳动仲裁，仲裁机构将根据证据链综合判断。例如，工人能证明连续3个月以上领取工资且接受单位管理，即使无合同，也可认定劳动关系自首次用工日起成立。

2. 劳动关系终止时间的认定
   劳动关系终止时间需结合以下情形判断：

   • 正常终止：若工人因受伤无法继续工作，且双方未解除劳动关系，则终止时间可能延至医疗期结束或双方协商一致解除之日。
     
   • 违法解除：若用人单位以“无合同”为由单方解除劳动关系，可能被认定为违法解除，此时劳动关系终止时间以仲裁或诉讼裁决生效日为准。
     
   • 事实劳动关系延续：根据《劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满1年未与劳动者订立书面合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，劳动关系持续存在直至法定终止情形出现（如退休、死亡或双方协商解除）。

3. 受伤与劳动关系认定的关联
   若工人因工作受伤，劳动关系认定直接影响工伤认定及赔偿。根据《工伤保险条例》第十八条，提出工伤认定申请需提交“与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料”。因此，即使未签合同，只要能证明事实劳动关系，仍可申请工伤认定，劳动关系起止时间将作为计算工伤待遇（如停工留薪期工资、一次性伤残补助金等）的依据。

建议：

• 工人应尽快收集能证明劳动关系的证据，向用人单位提出书面确认劳动关系请求，或直接向劳动仲裁委员会申请仲裁。
  
• 若用人单位拒绝配合，可同步申请工伤认定，劳动行政部门在调查中会主动审查劳动关系是否存在。
  
• 如有复杂情况（如用人单位注销、证据不足等），建议进一步提供细节，我将结合具体情形为您分析。