结论：在孩子母亲死亡的情况下，父亲通常拥有孩子的抚养权，但若父亲存在不适宜抚养孩子的情形，孩子的姥爷可以通过法律程序争取抚养权。

分析如下：

一、一般情况下抚养权归属

根据法律规定，父母是未成年子女的法定监护人，对子女负有抚养、教育和保护的义务。在母亲死亡的情况下，父亲自然成为孩子的唯一法定监护人，并通常拥有对孩子的抚养权。这是基于亲子关系的天然联系以及法律对父母抚养责任的明确规定，旨在确保孩子在稳定且适宜的环境中成长。

二、特殊情况下姥爷可能获得抚养权

尽管在一般情况下抚养权归父亲，但在某些特殊情形下，孩子的姥爷有可能获得抚养权：

1. 父亲存在不适宜抚养的情形：

   • 若父亲因患有严重精神疾病、传染性疾病且无法治愈，或有虐待、遗弃孩子等严重违法行为，导致他无法或不宜继续抚养孩子，孩子的姥爷可以向法院提起诉讼，请求变更抚养权。
   • 法院在审理此类案件时，会综合考虑双方抚养能力、条件及孩子最佳利益等因素，作出判决。姥爷需要提供充分的证据证明父亲存在不适宜抚养的情形，并证明自己有能力和条件抚养孩子。

2. 父亲同意并由姥爷抚养符合孩子最佳利益：

   • 如果父亲因经济困难、工作原因或其他合理理由自愿放弃抚养权，并同意由具备抚养能力和条件的姥爷抚养孩子，同时这符合孩子的最佳利益，那么经过相关法律程序（如法院裁定），姥爷可以获得抚养权。
   • 在这种情况下，姥爷需要与父亲协商并达成一致意见，同时确保抚养安排符合孩子的最佳利益。

三、法律建议与注意事项

1. 收集证据：

   • 如果姥爷认为父亲存在不适宜抚养的情形，并希望争取抚养权，他需要收集充分的证据来支持自己的主张。这些证据可能包括医疗记录、警方报告、证人证言等。

2. 咨询专业律师：

   • 在处理此类复杂的法律问题时，姥爷应咨询专业律师以获取准确的法律建议和帮助。律师可以评估案件的可行性，提供法律策略，并代表姥爷在法庭上陈述观点。

3. 优先考虑孩子最佳利益：

   • 在处理抚养权纠纷时，应始终优先考虑孩子的最佳利益。法院在作出判决时，也会以孩子的身心健康和合法权益为出发点。

总结：在孩子母亲死亡的情况下，父亲通常拥有孩子的抚养权。然而，如果父亲存在不适宜抚养孩子的情形，或者父亲同意并由姥爷抚养符合孩子最佳利益，孩子的姥爷可以通过法律程序争取抚养权。在处理此类问题时，应收集充分的证据，咨询专业律师，并始终优先考虑孩子的最佳利益。如果你或你的家人面临类似问题，可以直接向我咨询以获取更准确的法律建议和帮助。