结论前置：爷爷奶奶在特定情况下可以起诉孩子母亲，要求其履行抚养义务。

详细分析：

1. 法律背景与依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对未成年子女负有抚养、教育和保护的义务。这一义务是法定的，不因父母一方去世而免除另一方的抚养责任。
   • 当父母一方去世，另一方不履行抚养义务时，未成年子女的祖父母（即爷爷奶奶）在特定情况下可以承担抚养责任，并有权向不履行抚养义务的父母一方追偿或要求其履行义务。这里的“特定情况”通常指的是父母均无法履行抚养义务，或者父母一方去世后，另一方明显无抚养能力或拒绝抚养。

2. 爷爷奶奶的起诉权利：

   • 在孩子父亲去世，母亲不管孩子的情况下，爷爷奶奶如果实际承担了抚养孩子的责任，并且有证据证明母亲未履行抚养义务，那么爷爷奶奶可以作为法定代理人或利害关系人，向法院提起诉讼，要求母亲履行抚养义务。
   • 起诉时，爷爷奶奶需要提供相关证据，如孩子的出生证明、父母婚姻状况证明、父亲去世证明、母亲未履行抚养义务的证据（如邻居证言、社区证明、孩子的生活费用支出记录等）以及爷爷奶奶实际承担抚养责任的证据。

3. 可能的法律后果：

   • 如果法院认定母亲确实未履行抚养义务，且爷爷奶奶实际承担了抚养责任，那么法院可能会判决母亲支付抚养费或承担其他抚养责任。
   • 抚养费的数额通常根据孩子的实际需要、父母的负担能力以及当地的实际生活水平来确定。计算公式可能涉及孩子的教育费、医疗费、生活费等各项开支，并会考虑父母的收入状况进行合理分配。

4. 实际操作建议：

   • 爷爷奶奶在起诉前，应尽可能收集相关证据，以证明母亲未履行抚养义务和自身实际承担抚养责任的事实。
   • 可以咨询专业律师，了解具体的起诉流程和所需材料，以确保起诉的顺利进行。
   • 在诉讼过程中，爷爷奶奶应积极配合法院的调查和调解工作，以维护孩子的合法权益。

特殊情况说明：

• 如果爷爷奶奶自身经济条件有限，无法承担抚养孩子的全部费用，也可以考虑向当地的社会救助机构申请帮助，或者寻求其他亲属的协助。
• 在某些情况下，如果母亲确实存在特殊困难（如严重疾病、失业等），导致无法履行抚养义务，法院也可能会考虑减轻或免除其抚养责任。但这种情况需要母亲提供充分的证据来证明。

总结与建议： 爷爷奶奶在孩子父亲去世、母亲不管孩子的情况下，如果实际承担了抚养责任，并且有证据证明母亲未履行抚养义务，那么可以向法院提起诉讼要求母亲履行抚养义务。在起诉前，应尽可能收集相关证据，并咨询专业律师以了解具体的起诉流程和所需材料。如果还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。