公司并不是在第几次签订劳动合同时就必然可以签长期协议（通常指无固定期限劳动合同），而是需要满足一定的法定条件。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：
一、无固定期限劳动合同的订立条件
连续工作满十年：
- 劳动者在同一用人单位不间断地工作满十年，此时如果劳动者提出续订劳动合同，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。例如，某员工自2013年1月1日起在某公司工作，至2023年1月1日已满十年，若该员工提出续订，公司需与其订立无固定期限劳动合同。
用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制：
- 在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，如果劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。这一规定主要针对特定的用人单位变革情形，确保劳动者的权益不受影响。
连续订立二次固定期限劳动合同：
- 如果劳动者与用人单位已经连续订立了两次固定期限劳动合同，并且在合同履行过程中没有违反《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度等），那么在续订劳动合同时，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，在满足一定条件下，第三次签订劳动合同时，劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。
二、视为订立无固定期限劳动合同的情形
- 用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，根据法律规定，将视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这是为了保护劳动者的合法权益，避免用人单位通过不签订劳动合同来规避法律责任。
三、重要说明与法律建议
- “长期合同”的误解：需要明确的是，“长期合同”通常指的是无固定期限的劳动合同，但并非由“劳动合同签订的次数”直接决定。是否订立无固定期限劳动合同，需要综合考虑劳动者的工作年限、合同续订情况以及特定用人单位的变革情形等因素。
- 劳动者的权利：劳动者在满足上述条件时，有权提出或同意续订、订立无固定期限劳动合同。用人单位应当遵守法律规定，与符合条件的劳动者订立无固定期限劳动合同。
- 用人单位的义务与风险：用人单位有义务与符合条件的劳动者签订无固定期限劳动合同。如果用人单位违反规定，不与劳动者签订无固定期限劳动合同，劳动者有权向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼，要求用人单位承担相应的法律责任。
四、实际操作中的注意事项
- 保留证据：劳动者在要求签订无固定期限劳动合同时，应保留好相关证据，如工作年限证明、连续订立两次固定期限劳动合同的证明等。
- 及时沟通：劳动者在满足签订无固定期限劳动合同的条件时，应及时与用人单位沟通，表达自己的意愿。
- 寻求法律援助：如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，劳动者可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
总结来看，公司并不是在第几次签订劳动合同时就必然可以签长期协议，而是需要满足一定的法定条件。劳动者在满足条件时，有权要求签订无固定期限劳动合同，用人单位应当遵守法律规定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。