针对您提出的“没有签合同第一天上班受伤后怎么赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

一、确认事实劳动关系

首先，即使没有签订书面劳动合同，只要您实际上已经为用人单位提供了劳动，并接受了其管理，那么您与用人单位之间就构成了事实劳动关系。这一点是后续申请工伤认定和获得赔偿的基础。

二、收集证据

为了证明您与用人单位之间存在事实劳动关系以及受伤的事实，您需要尽快收集以下证据：

1. 工作安排聊天记录：如果您有与用人单位或上级关于工作安排的聊天记录，这些记录可以证明您是在为用人单位工作过程中受伤的。
2. 工友证言：如果有工友目睹了您受伤的过程，他们的证言也是非常重要的证据。
3. 现场照片：如果可能的话，拍摄受伤现场的照片，这些照片可以直观地展示受伤的环境和情况。
4. 其他证据：如工作证、工作服、考勤记录等，这些都可以作为证明您与用人单位存在劳动关系的辅助证据。

三、申请工伤认定

在收集到足够的证据后，您需要向用人单位所在地的社会保险行政部门申请工伤认定。申请时，您需要提交以下材料：

1. 工伤认定申请表：这是申请工伤认定的基本表格，需要您填写个人信息、受伤情况等。
2. 医疗机构出具的受伤诊断证明书：这是证明您受伤情况和程度的重要文件。
3. 其他证据材料：如上述提到的聊天记录、工友证言、现场照片等。

四、劳动能力鉴定与赔偿计算

一旦您的工伤认定申请被批准，接下来需要进行劳动能力鉴定。劳动能力鉴定将确定您的伤残等级，这是计算赔偿数额的重要依据。根据伤残等级，您可以获得包括医疗费、护理费、误工费、伤残补助金等在内的赔偿。

五、单位未缴工伤保险的责任

如果用人单位没有依法为您缴纳工伤保险，那么根据相关法律规定，相关的赔偿费用将由用人单位自行承担。这意味着，即使没有签订书面劳动合同，用人单位也不能逃避其应承担的责任。

六、维权途径

如果用人单位拒绝承担赔偿责任，或者您对赔偿数额有异议，您可以通过以下途径维权：

1. 与用人单位协商：首先尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成一致的赔偿方案。
2. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位支付相应的赔偿费用。
3. 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

综上所述，即使没有签订书面劳动合同，第一天上班受伤后您仍然有权获得相应的赔偿。关键在于要尽快收集证据、申请工伤认定，并根据伤残等级计算赔偿数额。如果用人单位拒绝承担责任，您可以通过协商、劳动仲裁或提起诉讼等途径来维权。