在上班第一天就发生工伤且未签订劳动合同的情况下，您依然有权获得相应的赔偿。为了确保您的权益得到充分保障，您可以按照以下详细步骤来处理：
一、及时就医并妥善保留证据
- 及时就医：首先，您应立即前往正规医疗机构进行诊治，确保伤情得到及时且妥善的处理。
- 保留证据：在治疗过程中，请务必妥善保存所有与受伤相关的证据，包括但不限于病历、诊断证明、检查报告、缴费凭证等。这些证据在后续的工伤认定和索赔过程中将起到至关重要的作用。
二、确认与用人单位的劳动关系
尽管您未与用人单位签订书面劳动合同，但您仍可以通过收集其他证据来证明与用人单位存在事实劳动关系。这些证据可以包括：
- 工资支付记录或凭证，如银行流水、工资条等；
- 工作证、工作服或工作标识；
- 考勤记录，无论是电子版还是纸质版；
- 工友的证言及其联系方式；
- 与用人单位负责人或管理人员的聊天记录、通话录音等。
如果用人单位否认与您的劳动关系，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求确认劳动关系，并提交上述收集到的证据以支持自己的主张。
三、申请工伤认定
- 申请时限：工伤认定是获得工伤赔偿的前提。一般来说，用人单位应在事故发生之日起30日内向劳动保障行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未在规定时间内提出申请，您或您的近亲属、工会组织可以在事故发生之日起1年内自行提出申请。
- 申请材料：在申请工伤认定时，您需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料（包括事实劳动关系的证明）、医疗机构出具的诊断证明以及其他能够证明工伤发生经过的相关材料。
四、进行劳动能力鉴定
- 鉴定时机：经过治疗，当您的伤情相对稳定后，如果存在残疾或影响劳动能力的情况，您应当进行劳动能力鉴定。这将关系到后续赔偿金额的计算。
- 鉴定流程：您可以向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。按照鉴定委员会的安排，在指定的医疗机构进行相关检查和诊断，以确定您的伤残等级。
五、主张工伤赔偿
- 赔偿项目：根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，您可以向用人单位主张相应的工伤赔偿。赔偿项目通常包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等。
- 协商与仲裁：首先，您可以尝试与用人单位协商赔偿事宜。如果协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付相应的工伤赔偿待遇。如果您对仲裁裁决不服，还可以在规定的期限内向人民法院提起诉讼。
- 用人单位责任：如果用人单位未为您缴纳工伤保险，那么所有赔偿费用将由用人单位承担。
六、追究未签合同的法律责任
根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在申请工伤赔偿的同时，您还可以要求用人单位支付未签合同期间的双倍工资差额（从第二个月起算）。
七、全流程注意事项
- 时效性：请务必注意工伤认定申请和劳动仲裁的时效性。工伤认定申请需在事故发生后1年内提出，劳动仲裁需在知道权利被侵害之日起1年内申请。
- 法律咨询：在处理复杂情况时，建议您委托律师介入，尤其是涉及劳动能力鉴定或高额赔偿时。
- 保留证据：请妥善保存所有沟通记录、医疗费用单据等证据，以避免用人单位推诿责任。
总之，即使未签订劳动合同，您在发生工伤后仍应依法维护自己的权益。关键在于及时收集并保留相关证据，积极申请工伤认定和劳动能力鉴定，并根据鉴定结果依法主张工伤赔偿。如果用人单位拒绝赔偿或协商不成，您可以通过劳动仲裁或诉讼途径解决争议。