核心结论：在此种情况下，您仍有权获得相应赔偿，具体赔偿方式及金额需根据实际情况确定，主要涉及工伤认定及赔偿主体确定两方面。以下为详细分析：
工伤认定方面
- 认定依据：根据《工伤保险条例》第十四条规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。您上班第一天在工作过程中受伤，符合该条款规定的情形，原则上应当被认定为工伤。
- 认定流程：您或您的近亲属、所在单位应在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。提出工伤认定申请时，需提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系（包括事实劳动关系）的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书（或者职业病诊断鉴定书）等材料。虽然您没有劳动合同，但只要能提供工作证、考勤记录、工资支付凭证、同事证言等证据，证明您与用人单位存在事实劳动关系，就不影响工伤认定。
赔偿主体确定方面
- 若用人单位已缴纳工伤保险：若用人单位依法为您缴纳了工伤保险，那么根据《工伤保险条例》规定，您可享受的工伤保险待遇项目和标准将由工伤保险基金支付。具体包括医疗费、康复费、住院伙食补助费、交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用、生活不能自理的经劳动能力鉴定委员会确认的生活护理费、一次性伤残补助金和一至四级伤残职工按月领取的伤残津贴等费用，由工伤保险基金支付；停工留薪期工资福利、五级、六级伤残职工按月领取的伤残津贴以及一次性伤残就业补助金等费用，由用人单位支付。
- 若用人单位未缴纳工伤保险：若用人单位未依法为您缴纳工伤保险，依据《工伤保险条例》第六十二条规定，应当参加工伤保险而未参加工伤保险的用人单位职工发生工伤的，由该用人单位按照本条例规定的工伤保险待遇项目和标准支付费用。也就是说，您应享受的所有工伤赔偿费用都将由用人单位承担。
- 若用人单位不承认劳动关系：如果用人单位不承认与您存在劳动关系，拒绝进行工伤认定和赔偿，您需要先通过劳动仲裁确认与用人单位存在事实劳动关系。在确认劳动关系后，再按照上述工伤认定和赔偿流程主张自己的权益。如果对劳动仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼。