结论：员工在上班期间手指断了并在医院接起来，过了几个月后员工的妈妈找到要求赔偿，这涉及到工伤认定和赔偿的问题。员工有权依法申请工伤认定并获得相应的工伤赔偿，员工的妈妈作为家属，可以协助员工处理相关事宜，但赔偿请求应由员工本人提出。

分析：

1. 工伤认定：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。在此案例中，员工在上班期间手指断了，显然是在工作时间和工作场所内因工作原因受到的事故伤害，因此应当认定为工伤。

2. 工伤赔偿：

   • 一旦工伤被认定，员工有权获得相应的工伤赔偿。这包括医疗费、停工留薪期工资、护理费、一次性伤残补助金等。具体赔偿项目和标准会根据员工的伤残等级和当地的工伤保险政策来确定。
   • 医疗费：员工因工伤产生的医疗费用，包括接手指等治疗费用，应由工伤保险基金或用人单位承担。
   • 停工留薪期工资：员工在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
   • 护理费：如果员工需要护理，护理费也应由工伤保险基金或用人单位承担。
   • 一次性伤残补助金：根据员工的伤残等级，工伤保险基金或用人单位会支付一次性伤残补助金。

3. 赔偿请求的主体：

   • 赔偿请求应由员工本人提出。员工的妈妈作为家属，可以协助员工处理相关事宜，如提供必要的证明材料、陪同员工进行工伤认定和赔偿申请等，但赔偿请求本身应由员工本人提出。

4. 后续行动建议：

   • 员工应尽快向用人单位报告工伤情况，并要求用人单位协助进行工伤认定。
   • 员工应收集并保存好与工伤相关的证据材料，如医疗记录、工伤事故报告等。
   • 如果用人单位不配合进行工伤认定或拒绝支付工伤赔偿，员工可以向当地的社会保险行政部门投诉或申请劳动仲裁。

特殊情况考虑：

• 如果员工与用人单位之间存在劳动关系争议，如未签订劳动合同、未缴纳工伤保险等，这可能会影响工伤认定和赔偿的进程。在这种情况下，员工可能需要先通过劳动仲裁或诉讼来解决劳动关系争议。

总结与建议： 员工在上班期间手指断了并在医院接起来，显然构成了工伤。员工有权依法申请工伤认定并获得相应的工伤赔偿。员工的妈妈作为家属，可以协助员工处理相关事宜，但赔偿请求应由员工本人提出。如果遇到任何问题或困难，员工可以直接向我咨询，我会提供专业的法律帮助。