结论前置：在父母不提起赡养诉讼的情况下，其中一子女确实有权代表老人或作为共同赡养义务承担者，起诉其他子女不履行赡养义务。
详细分析：
赡养义务的法律依据：
- 根据我国相关法律，成年子女对父母负有赡养、扶助和保护的义务。这是基于法律规定和公序良俗的要求，每个子女都应尽到这一责任。当部分子女不履行赡养义务时，不仅侵害了老人的合法权益，也加重了其他履行赡养义务子女的负担。
诉讼的主体资格：
- 在父母不提起诉讼的情况下，履行了赡养义务的子女可以以自己的名义，代表老人向法院起诉不赡养老人的其他子女。这是因为其他子女作为老人赡养义务的共同承担者，有资格作为原告（或代表原告）向法院提起诉讼，要求不履行赡养义务的子女承担相应的责任。
起诉时需要提供的证据：
- 在提起诉讼时，原告需要向法院提供充分的证据，以证明其他子女未尽到应尽的赡养责任。这些证据可能包括老人生活困难的相关证明（如医疗费用单据、生活费用支出记录等）、其他子女拒绝履行赡养义务的事实依据（如聊天记录、证人证言等）。
法院的审理与判决：
- 法院受理此类赡养纠纷案件后，会根据具体情况进行审理。审理过程中，法院会综合考虑老人的实际需求、子女的负担能力以及当地的经济水平等因素，依法作出判决。判决内容可能包括要求不履行赡养义务的子女提供经济供养（如支付赡养费）、生活照料（如定期看望陪伴老人）和精神慰藉等赡养内容。
法律后果与追责：
- 如果某个子女被判定未履行赡养义务，可能会面临一系列法律后果。除了被要求支付赡养费外，还可能承担诉讼费用等。在严重的情况下，甚至可能会被追究刑事责任（尽管这种情况相对较少见，但确实存在法律上的可能性）。
非诉讼解决方式的建议：
- 鉴于赡养纠纷本质上是家庭内部矛盾，建议在起诉前尝试通过协商、人民调解等非诉讼方式解决。这种方式不仅有助于修复家庭关系，还能促进子女之间更好地履行赡养义务，实现家庭和谐。如果协商或调解无果，再考虑通过法律途径解决。
特殊情况下的处理：
- 如果父母因年老、疾病等原因无法表达自己的意愿或提起诉讼，其他子女可以依法申请成为父母的法定代理人，代表父母提起诉讼。在这种情况下，需要提供相关的医学证明或法院指定的代理人证明等文件。
行动建议：
- 如果你作为履行了赡养义务的子女，发现其他子女不履行赡养义务，且父母不愿或无法提起诉讼，你可以考虑以自己的名义代表父母提起诉讼。在提起诉讼前，建议先收集相关证据并咨询专业律师（即我本人，胡森轩律师，专注于婚姻家庭领域）的意见，以确保诉讼的顺利进行和胜诉的可能性。
总之，在父母不提起赡养诉讼的情况下，其中一子女有权起诉其他子女不履行赡养义务。在诉讼过程中，应提供充分证据支持自己的主张，并尊重法院的审理与判决。同时，也建议优先考虑非诉讼解决方式，并在必要时寻求专业法律援助以维护老人的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。