结论：针对您在私立幼儿园签订三年合同后未获得承诺奖金的情况，您有权通过法律途径追讨该奖金，但具体能否追回及追回金额需依据合同条款、实际履行情况及相关证据综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、合同效力与奖金条款
合同有效性：首先，需确认您与私立幼儿园签订的劳动合同是否合法有效。根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同应具备法定必备条款，且双方意思表示真实，不违反法律、行政法规的强制性规定。若合同有效，则双方均应按合同约定履行义务。
奖金条款：合同中关于“三年满答应给奖金”的条款属于双方对劳动报酬的特别约定。根据《劳动合同法》第三十条：“用人单位应当按照劳动合同约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。”因此，若合同明确约定了奖金的支付条件、金额及时间，且您已满足支付条件，则幼儿园有义务支付该奖金。
二、证据收集与举证责任
证据收集：为证明幼儿园未支付奖金的事实，您需要收集相关证据，如劳动合同、与幼儿园的沟通记录（如邮件、短信、微信等）、同事证言（如有）等。这些证据应能证明合同中存在奖金条款，且您已满足支付条件。
举证责任：在劳动争议中，一般遵循“谁主张，谁举证”的原则。因此，您需要承担证明幼儿园未支付奖金的举证责任。若您能提供充分证据证明幼儿园未履行合同义务，则幼儿园应承担相应的法律责任。
三、法律途径与救济措施
协商解决：首先，您可以尝试与幼儿园进行协商，要求其按照合同约定支付奖金。协商过程中，您可以出示相关证据，以支持您的主张。
劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。仲裁过程中，仲裁委员会将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。若仲裁裁决支持您的主张，则幼儿园应履行裁决义务。
诉讼途径：若对仲裁裁决不服，您还可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，法院将依法审理案件，并作出判决。若判决支持您的主张，则幼儿园应履行判决义务。
四、可能面临的法律后果
支付奖金及利息：若法院或仲裁委员会认定幼儿园未支付奖金的行为构成违约，则幼儿园应支付您应得的奖金及可能产生的利息。
赔偿损失：若幼儿园的违约行为给您造成了其他损失（如因追讨奖金而产生的交通费、误工费等），您还可以要求幼儿园赔偿这些损失。
行政处罚：若幼儿园的违法行为情节严重，还可能面临劳动行政部门的行政处罚。
五、建议与注意事项
及时行动：建议您尽快采取行动，收集相关证据并咨询专业律师（即向我咨询），以便更好地维护自己的合法权益。
保留证据：在追讨奖金的过程中，务必保留好所有相关证据，以备不时之需。
理性维权：在维权过程中，请保持理性态度，避免采取过激行为。通过合法途径解决问题才是最有效的方式。
最后，若您在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。