针对您提出的“员工试用期合同签署一个月，超过一个月后没有续签合同被辞退，公司流程应如何处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，我们需要明确的是，当试用期结束后，如果公司未与员工续签劳动合同，并且随后决定辞退该员工，公司需要遵循一定的法律程序和原则，以确保处理的合法性和公正性。

一、证据收集

在处理此类情况时，公司首先应确保有充分的证据来支持其决策。这包括但不限于：

1. 劳动合同：证明员工与公司之间存在劳动关系，以及试用期的具体期限。
2. 工资记录：显示员工的工资支付情况，有助于确认员工的工作时间和薪资水平。
3. 工作证或其他工作证明：进一步证明员工在公司的工作身份和职责。
4. 录用条件及考核记录：如果公司以员工不符合录用条件为由进行辞退，那么必须提供相关的录用条件说明以及员工不符合这些条件的考核记录。

二、合法解除劳动关系的条件

根据相关法律法规，公司要合法解除与员工的劳动关系，必须满足以下条件之一：

1. 员工不符合录用条件：公司需要提供充分的证据证明员工在试用期内或试用期结束后不符合公司设定的录用条件。
2. 员工严重违反公司规章制度：如果员工有严重违反公司规章制度的行为，公司可以依据规章制度进行辞退。
3. 员工严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：在这种情况下，公司也有权解除劳动关系。
4. 其他法定解除情形：如员工被依法追究刑事责任等。

如果公司无法证明员工存在上述情形之一，而擅自辞退员工，则可能构成违法解除劳动关系。

三、未续签合同的处理

如果试用期结束后，公司未与员工续签劳动合同，但员工继续在公司工作，那么根据相关法律法规，公司应自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日向劳动者每月支付两倍的工资。因此，如果公司在超过一个月后未续签合同且辞退员工，员工有权主张自第二个月起的双倍工资。

四、处理流程建议

1. 内部沟通：在决定辞退员工之前，公司应与员工进行充分的沟通，解释辞退的原因和依据，并听取员工的意见和反馈。
2. 协商赔偿：如果公司决定辞退员工，并且员工认为公司的辞退行为违法或未续签合同应支付双倍工资，双方可以协商赔偿事宜。
3. 投诉或仲裁：如果协商不成，员工可以向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁维权。公司应积极配合相关部门的调查和处理工作。

综上所述，公司在处理试用期结束后未续签合同且被辞退的情况时，应确保有充分的证据支持其决策，遵循合法解除劳动关系的条件，并妥善处理未续签合同的问题。同时，公司应积极与员工沟通协商，以避免不必要的法律纠纷和声誉损失。