结论：您有权要求用人单位支付未签书面劳动合同的双倍工资差额（4个月工资）及违法解除劳动合同的赔偿金（1个月工资），同时可主张补缴在职期间的社会保险。具体维权步骤如下：

一、法律关系分析：用人单位存在双重违法行为

1. 未签书面劳动合同
   根据《劳动合同法》第10条、82条，用人单位自用工之日起超过1个月未与劳动者签订书面劳动合同的，应当自第2个月起支付双倍工资（最多11个月）。您在职5个月未签合同，可主张4个月双倍工资差额（第2-5个月工资）。

2. 违法解除劳动合同
   若用人单位无法证明辞退理由符合《劳动合同法》第39条（如严重违纪、不能胜任工作等）或第40条（如医疗期满、客观情况重大变化等）的法定情形，则构成违法解除。根据第48条、87条，您有权主张赔偿金（2倍经济补偿金）。您工作不满6个月，经济补偿金为0.5个月工资，赔偿金即为1个月工资。

二、维权步骤与证据收集

1. 固定劳动关系证据

   • 收集工资支付记录（银行流水、转账记录）、工作证、考勤记录、工作邮件/聊天记录、同事证言等，证明您与用人单位存在事实劳动关系。
   • 若用人单位通过微信、短信等方式通知辞退，需保存原始载体（如手机）及内容截图。

2. 协商与投诉

   • 可先与用人单位协商，要求支付双倍工资差额及赔偿金，并补缴社保。
   • 若协商无果，向用人单位所在地的劳动监察大队投诉（电话：12333），要求查处未签合同、违法解除及未缴社保的行为。

3. 申请劳动仲裁

   • 若投诉未解决，需在辞退之日起1年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张：
     • 确认劳动关系；
     • 支付未签合同的双倍工资差额（4个月工资）；
     • 支付违法解除赔偿金（1个月工资）；
     • 补缴在职期间的社会保险（需通过社保部门追缴，仲裁委可能不予处理，但可一并主张）。

三、注意事项

1. 时效问题
   劳动仲裁时效为1年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算（如辞退之日）。建议尽快行动，避免超期。

2. 赔偿金与经济补偿金的区别

   • 经济补偿金：用人单位合法解除时支付（如协商一致、无过失性辞退），按工作年限计算（满6个月按1个月工资）。
   • 赔偿金：用人单位违法解除时支付，为经济补偿金的2倍。您的情况适用赔偿金。

3. 社保补缴
   社保问题需向当地社保局投诉，由社保部门责令用人单位补缴。仲裁委可能仅在仲裁请求中确认劳动关系，社保补缴需另行通过行政途径解决。

四、建议行动方案

1. 立即收集证据：重点固定劳动关系及辞退通知的证据。
2. 发送书面函件：向用人单位发送《律师函》或书面催告函，明确要求支付双倍工资及赔偿金，保留送达证据（如EMS邮寄回执）。
3. 同步投诉与仲裁：向劳动监察大队投诉的同时准备仲裁材料，若投诉无果可迅速启动仲裁程序。

如需进一步协助，可随时向我咨询具体操作细节或证据整理要点。