可以要求索赔。针对您的情况，我将从以下几个方面进行详细分析：

一、未签署劳动合同的索赔

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”
   • 第八十二条规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”

2. 索赔要点：

   • 您有权要求用人单位支付自用工之日起超过一个月不满一年期间的双倍工资差额。
   • 计算方式为：应支付的双倍工资差额 = 月工资 × (未签订劳动合同的月数 - 1)。例如，如果您工作了8个月且未签订劳动合同，月工资为5000元，则应支付的双倍工资差额为5000元 × (8 - 1) = 35000元。

二、无辜被辞退的索赔

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”
   • 第八十七条规定：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”

2. 索赔要点：

   • 如果用人单位无正当理由辞退您，即属于违法解除劳动合同，您有权要求用人单位支付赔偿金。
   • 赔偿金计算方式为：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = 月工资 × 工作年限 × 2。例如，如果您工作了2年，月工资为5000元，则赔偿金为5000元 × 2 × 2 = 20000元。

三、综合建议

1. 收集证据：

   • 保留与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
   • 收集用人单位未与您签订劳动合同以及无故辞退您的证据，如邮件、短信、录音等。

2. 协商与仲裁：

   • 首先尝试与用人单位协商解决，要求支付双倍工资差额和赔偿金。
   • 如果协商无果，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

3. 法律援助：

   • 如果您在仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询，我将为您提供专业的法律支持。

总结：您在就职期间单位未签署劳动合同且无辜被辞退的情况下，有权要求用人单位支付双倍工资差额和赔偿金。建议您尽快收集相关证据，并与用人单位协商解决或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。