在原审遗漏关键证据不审查的情况下，再审可以以“原审判决认定基本事实缺乏证据证明”或“原审判决遗漏或者超出诉讼请求”等理由提出。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与再审理由
《中华人民共和国民事诉讼法》相关规定：
- 根据该法第二百零七条，当事人的申请符合下列情形之一的，人民法院应当再审：…（二）原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的；…（十一）原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的。
- 在原审中，如果法院遗漏了关键证据，导致对案件基本事实的认定缺乏充分证据支持，那么这可以构成再审的一个理由。因为关键证据的缺失可能直接影响案件结果的公正性。
再审理由的具体应用：
- 原审判决认定基本事实缺乏证据证明：当原审法院在审理过程中未对关键证据进行审查，导致对案件基本事实的认定缺乏充分证据时，再审申请人可以以此为由提出再审申请。例如，在合同纠纷中，如果原审法院未审查合同的关键条款或履行情况，导致对合同是否成立、是否履行等基本事实的认定缺乏证据，那么再审申请人可以以此为由申请再审。
- 原审判决遗漏或者超出诉讼请求：虽然这一理由更多涉及诉讼请求的完整性，但如果原审法院因遗漏关键证据而未能全面审查案件，导致判决结果超出了或遗漏了当事人的诉讼请求范围，那么这也可以间接构成再审的理由。不过，更直接的是，遗漏关键证据可能导致对案件事实的认定不全面，从而影响判决结果的公正性，这本质上与“认定基本事实缺乏证据证明”相呼应。
二、再审申请的具体操作
准备再审申请材料：
- 再审申请人需要准备再审申请书，明确指出原审法院遗漏的关键证据，并说明这些证据对案件基本事实认定的影响。
- 同时，需要提供相关证据材料，以证明原审法院确实遗漏了这些关键证据。
提交再审申请：
- 再审申请人需要将再审申请书及相关证据材料提交给有管辖权的人民法院。
- 人民法院在收到再审申请后，会进行审查，并决定是否启动再审程序。
三、注意事项与风险提示
证据的充分性与关联性：
- 再审申请人在提出再审申请时，必须确保所提供的证据充分、关联，能够证明原审法院确实遗漏了关键证据。
- 如果证据不足或关联性不强，可能导致再审申请被驳回。
再审程序的复杂性与耗时性：
- 再审程序通常比一审、二审程序更为复杂和耗时。
- 再审申请人需要做好充分的准备，包括时间、精力和经济上的准备。
再审结果的不确定性：
- 即使再审申请人提出了充分的再审理由和证据，也不能保证再审结果一定对其有利。
- 再审法院会根据案件的具体情况和法律规定进行综合判断，并作出最终的判决。