针对您提出的“虚开增值税发票案件，公安机关立案后检查机关作出不起诉决定，移送税务机关如何处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、不起诉决定的背景与依据
首先，需要明确的是，检察机关作出不起诉决定，是基于对案件事实、证据以及法律适用的全面审查。在虚开增值税发票案件中，如果检察机关认为犯罪嫌疑人的行为不符合虚开增值税专用发票罪的构成要件，或者存在法定、酌定不起诉的情形（如情节轻微、主观恶性较小、证据不足等），则可能会作出不起诉决定。
这一决定的依据主要包括《刑事诉讼法》及相关司法解释，以及最高检等部门发布的指导意见。例如，最高检曾印发《意见》，明确对于有实际生产经营活动的企业为虚增业绩、融资、贷款等非骗税目的且没有造成税款损失的虚开增值税专用发票行为，不以虚开增值税专用发票罪定性处理。
二、移送税务机关的处理方式
当检察机关作出不起诉决定后，案件通常会移送税务机关进行进一步处理。这是因为，尽管犯罪嫌疑人的行为不构成犯罪，但仍然可能违反了税收法律法规，需要承担相应的行政责任。
税务机关在接收案件后，会进行以下处理：
调查核实：税务机关会对案件进行进一步的调查核实，包括审查相关证据、询问当事人等，以确认虚开发票的具体情况。
行政处罚：如果确认存在虚开发票的违法行为，税务机关会依法对涉案企业或个人进行行政处罚。这可能包括罚款、没收违法所得、吊销发票领购簿等。
补缴税款与滞纳金：如果虚开发票行为导致了税款的少缴或未缴，税务机关还会要求涉案企业或个人补缴相应的税款和滞纳金。
三、涉案企业或个人的应对策略
对于涉案的企业或个人而言，面对检察机关的不起诉决定和税务机关的后续处理，应采取以下策略：
积极配合调查：无论是检察机关还是税务机关的调查，都应积极配合，提供真实、完整的证据和信息。
主动纠正错误：如果发现自身存在虚开发票等违法行为，应主动向税务机关报告，并积极配合整改，以减轻或避免行政处罚。
寻求法律帮助：在处理过程中，如果遇到法律问题或困惑，应及时寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到妥善维护。
四、总结与建议
综上所述，当虚开增值税发票案件经检察机关审查作出不起诉决定后，案件会移送税务机关进行进一步处理。涉案企业或个人应积极配合调查，主动纠正错误，并寻求法律帮助以应对可能的行政处罚。同时，建议企业在日常经营中加强税务合规管理，避免涉及虚开发票等违法行为，以降低法律风险。