对于不属于本部门管辖的投诉举报事项，相关部门确实有义务告知投诉举报人，这一义务的依据主要来源于相关法律法规对行政机关处理投诉举报事项的规定。以下从法律背景、具体义务及法律后果几个角度进行详细分析：

1. 法律背景：

   • 根据《行政处罚法》等相关法律法规，行政机关在处理投诉举报时，应当遵循法定程序，确保投诉举报人的合法权益得到保障。对于不属于本部门管辖的投诉举报事项，行政机关不能简单拒绝或置之不理，而应当依法进行移送或告知。

2. 具体义务：

   • 接受并初步审查：行政机关在接到投诉举报后，应当首先进行接受并初步审查，以确定该投诉举报是否属于本部门管辖范围。
   • 及时移送：若经审查发现该投诉举报不属于本部门管辖，行政机关应当及时将其移送至有管辖权的机关处理。
   • 告知义务：在移送的同时，行政机关有义务告知投诉举报人该投诉举报已被移送至有管辖权的机关，并说明移送的原因和依据。这一告知义务是保障投诉举报人知情权的重要体现，也是行政机关依法行政、透明行政的要求。

3. 法律后果：

   • 若行政机关未履行告知义务，可能导致投诉举报人对处理进度和结果产生误解或不满，进而引发行政复议或行政诉讼等法律纠纷。
   • 同时，未履行告知义务也可能被视为行政机关在处理投诉举报事项时存在程序瑕疵或违法行为，从而影响行政机关的公信力和形象。

综上所述，对于不属于本部门管辖的投诉举报事项，相关部门有义务告知投诉举报人，并依法进行移送或处理。这一义务不仅体现了行政机关对投诉举报人合法权益的尊重和保障，也是行政机关依法行政、透明行政的重要体现。若您在处理投诉举报事项时遇到相关问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。