行政机关收到投诉举报后确实具有调查核实的义务，这一义务的法律依据主要来源于以下几个方面：
《中华人民共和国行政处罚法》的相关规定：
- 根据《行政处罚法》第五十四条，行政机关在接到公民、法人或者其他组织的投诉举报后，如果认为有违反行政管理秩序的行为，应当及时进行调查。这一条款明确规定了行政机关在接到投诉举报后的调查义务，是行政机关履行职责、保障行政管理秩序的重要法律依据。
《中华人民共和国行政诉讼法》的间接支持：
- 虽然《行政诉讼法》主要规范的是行政诉讼程序，但其中也隐含了行政机关在行政程序中的义务。行政机关在接到投诉举报后不履行调查核实义务，可能构成行政不作为，从而引发行政诉讼。在行政诉讼中，行政机关需要证明其已经履行了相应的调查核实义务，否则可能承担败诉的风险。
具体行政领域的法律法规：
- 除了上述一般性的法律规定外，许多具体行政领域的法律法规也明确规定了行政机关在接到投诉举报后的调查核实义务。例如，在市场监管、环境保护、食品安全等领域，都有相应的法律法规要求行政机关对投诉举报进行及时调查和处理。
行政机关的职责与使命：
- 从行政机关的职责和使命来看，其作为公共利益的维护者，有义务对公民、法人或者其他组织的投诉举报进行及时、有效的调查核实。这是行政机关履行其公共服务职能、保障社会公共利益的重要体现。
在行政机关履行调查核实义务的过程中，还需要注意以下几点：
- 及时性：行政机关在接到投诉举报后，应当尽快进行调查核实，避免拖延和推诿。
- 全面性：调查核实应当全面、客观、公正，不遗漏任何可能影响案件处理的事实和证据。
- 保密性：在调查核实过程中，行政机关应当保护投诉举报人的隐私和合法权益，避免泄露相关信息。
如果行政机关未履行调查核实义务，可能面临的法律后果包括：
- 行政复议或行政诉讼中的败诉风险：如果行政机关因未履行调查核实义务而导致行政行为被撤销或变更，将可能面临行政复议或行政诉讼中的败诉风险。
- 行政责任追究：对于行政机关及其工作人员因未履行调查核实义务而造成的严重后果，还可能面临行政责任追究，包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等处分。
因此，行政机关在收到投诉举报后，应当严格履行调查核实义务，确保行政行为的合法性和合理性。如果公民、法人或者其他组织对行政机关的调查核实行为有异议或认为行政机关未履行相应义务，可以依法向相关部门进行申诉或提起行政诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。