首先，我们来明确一下问题的核心：你询问的是，在一口价找人搬运垃圾的情况下，对方自带工具并在中途受伤，此时支付给他当下一部分钱，是否能证明双方之间是承揽关系。
对于这个问题，我们可以从以下几个方面来进行分析：
承揽关系的定义：
- 承揽关系，是指当事人一方按他方的要求完成一定工作，并将工作成果交付他方，他方接受工作成果并给付酬金的合同关系。
- 在承揽关系中，承揽人通常以自己的设备、技术和劳力独立完成工作，并对工作成果负责。
支付款项的性质：
- 支付给他当下一部分钱，这一行为本身并不能直接证明双方是承揽关系。
- 款项的支付需要结合其他因素，如双方的事先约定、工作的性质、报酬的支付方式等，来综合判断双方的法律关系。
受伤情况的影响：
- 对方在工作中受伤，这一事实虽然与双方的法律关系无直接关联，但可能影响到双方对责任的承担。
- 在承揽关系中，承揽人通常自行承担工作中的风险，除非定作人有过错或双方有特别约定。
证据的证明力：
- 要证明双方是承揽关系，需要综合考虑多种证据，如双方的书面合同、口头约定、工作过程中的交流记录、报酬的支付凭证等。
- 单一地支付款项并不能作为证明承揽关系的决定性证据。
综上所述，支付给他当下一部分钱并不能直接证明双方是承揽关系。要证明这一点，需要综合考虑双方的事先约定、工作的性质、报酬的支付方式以及工作过程中的其他相关证据。如果你希望进一步明确双方的法律关系，建议咨询专业律师，并尽可能收集相关证据来支持你的主张。在婚姻家庭、合同纠纷等领域，我可以为你提供专业的法律咨询和帮助。