中学教师签订退休协议后毁约不肯退休的处理办法主要包括与教师进行沟通、依法终止劳动合同并为其办理退休手续、提供退休后的工作机会等。以下是对此问题的详细分析：

一. 沟通并解释相关法律法规

• 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条规定，劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。即使职工个人不愿意退休，劳动合同也将在其达到法定退休年龄时自动终止。
• 处理办法：首先，用人单位应与教师进行沟通，解释相关法律法规和公司的政策，鼓励其理解和接受退休的必要性。

二. 依法终止劳动合同并办理退休手续

• 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第五十条规定，用人单位应当在劳动合同终止时出具终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
• 处理办法：无论教师是否愿意，用人单位都需要在其达到退休年龄时为其办理退休手续，包括出具终止劳动合同的证明、办理档案和社会保险关系转移等。

三. 提供退休后的工作机会

• 处理办法：如果教师在退休后希望继续工作，用人单位可以考虑以退休返聘的形式，与其签订劳务合同，明确双方的权利和义务。这样既能满足教师继续工作的愿望，又能避免劳动纠纷。

四. 法律责任与后果

• 法律依据：《中华人民共和国民法典》规定，民事主体应依照法律规定或当事人之间的约定履行民事义务，并承担民事责任。若教师违反合同或约定，未能履行其义务，造成损失的，应承担相应的民事责任。
• 处理办法：如果教师在签订退休协议后毁约不肯退休，给用人单位造成损失的，用人单位有权依法追究其民事责任。这包括但不限于赔偿因教师毁约而造成的经济损失等。

综上所述，对于中学教师签订退休协议后毁约不肯退休的情况，用人单位应首先通过沟通解释相关法律法规，争取教师的理解和配合；其次依法终止劳动合同并为其办理退休手续；同时可以考虑提供退休后的工作机会以满足教师的需求。如有必要，用人单位还可以依法追究教师的民事责任以维护自身权益。

我建议：用人单位在处理此类问题时，应秉持合法、合理、合情的原则，既要维护自身权益，也要尊重教师的个人意愿和合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。