劳动合同期满员工仍继续工作的，双方应及时续签书面劳动合同以明确权利义务。下面我将详细解释这一结论，并分别从不同角度说明处理方法。

1. 及时续签的重要性：

   • 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系应订立书面劳动合同。劳动合同期满后，若员工继续在单位工作且单位未表示异议，根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但为避免法律风险，双方应在一个月内及时续签书面劳动合同，明确新的合同期限、工作内容、薪资待遇等条款。

2. 未及时续签的法律后果：

   • 若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需依照《劳动合同法》第八十二条向劳动者每月支付两倍的工资，并补订书面劳动合同。
   • 若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同。

3. 单位不同意续签的处理：

   • 劳动合同期满，若用人单位不同意续签，应提前通知劳动者，并按《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿。经济补偿标准根据劳动者在本单位工作的年限确定，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
   • 同时，单位应在解除劳动合同时出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。

4. 劳动者不同意续签的处理：

   • 若用人单位维持或提高原劳动合同约定条件续订，而劳动者不同意续订，用人单位无需支付经济补偿，但仍需为劳动者办理离职手续。
   • 若用人单位降低原劳动合同约定条件续订，而劳动者不同意续订，用人单位需按照《劳动合同法》第四十七条的规定向劳动者支付经济补偿。

综上所述，劳动合同期满后员工仍继续工作的，双方应及时续签书面劳动合同以明确各自的权利义务。若未及时续签或存在不同意续签的情况，应依法处理相关事宜，确保双方权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步咨询，请直接向我提问。