结论：当劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作时，劳动关系仍然存续，但双方应及时补签书面劳动合同以明确权利义务，避免潜在的法律风险。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动关系的存续
事实劳动关系的形成：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关司法解释，劳动合同期满后，如果用人单位未与劳动者办理终止或续订手续，而劳动者继续在用人单位工作，则双方形成事实劳动关系。这意味着，尽管没有书面合同，但劳动者与用人单位之间的劳动关系依然有效。
原合同条件的继续履行：
- 在事实劳动关系存续期间，劳动者的工作状态和权益，如劳动报酬、工作内容等，原则上仍受原合同条款的保护，除非双方另有约定或法律另有规定。
二、用人单位的法律责任
支付双倍工资的风险：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同到期后未及时续签的情况。因此，如果用人单位未及时续签合同，且劳动者继续工作超过一个月，用人单位可能需要承担支付双倍工资的责任。
补订无固定期限劳动合同的义务：
- 如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同。在这种情况下，用人单位应立即与劳动者补订无固定期限劳动合同，并承担相应的法律责任。
三、劳动者的权益保障
要求签订书面合同的权利：
- 劳动者有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
主张双倍工资差额的权利：
- 如前所述，如果用人单位未依法签订书面合同，劳动者有权主张双倍工资差额。这一权利的行使通常受到一定时效限制（如从应签订合同之日起计算一年内），因此劳动者应及时主张自己的权益。
解除劳动关系并主张经济补偿的权利：
- 如果用人单位存在违法用工行为（如长期不签订劳动合同），劳动者有权选择解除劳动关系，并要求用人单位支付相应的经济补偿。经济补偿的计算通常依据劳动者在用人单位的工作年限和工资水平等因素确定。
四、实际操作建议
及时沟通续签事宜：
- 无论是劳动者还是用人单位，都应在劳动合同到期前及时沟通续签事宜。通过沟通可以明确双方的权利和义务，减少潜在的法律风险和纠纷。
保留相关证据：
- 在等待续签合同的过程中，劳动者应保留所有与工作相关的证据，如工资单、考勤记录、工作任务分配等。这些证据在未来的劳动争议中将作为重要支持。
积极应对争议：
- 如发生劳动争议，双方应积极协商解决或配合劳动监察部门、劳动争议仲裁委员会的调查和处理。通过合法途径解决争议有助于维护良好的劳动关系和企业形象。
总结与建议：劳动合同到期后未续签但劳动者继续工作的情况下，劳动关系仍然存续，但双方应及时补签书面劳动合同以明确权利义务。作为劳动者，应积极维护自身权益；作为用人单位，应加强合同管理，确保合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。