厂里不批准请假以照顾生病的妈妈是不合理的，您有权要求请假。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 劳动者的请假权

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》第三条，劳动者享有休息、休假的权利。当家庭成员（如妈妈）生病需要照顾时，劳动者有权向用人单位提出请假申请。
2. 请假性质：此种情况下的请假通常属于事假，用人单位应当根据实际情况，合理批准劳动者的请假申请。

二. 用人单位的批准义务

1. 人性化管理：用人单位应当秉持人性化管理的原则，对于劳动者因家庭紧急事务（如照顾生病家庭成员）提出的请假申请，应当予以理解和支持。
2. 拒绝请假的后果：如果用人单位无理拒绝劳动者的请假申请，可能会构成对劳动者休息、休假权利的侵犯，劳动者有权向劳动监察部门投诉或提起劳动争议。

三. 请假手续与证据保留

1. 请假手续：在提出请假申请时，劳动者应尽可能提前，并说明请假原因、时间等，以便用人单位做出合理安排。
2. 证据保留：劳动者应保留好请假申请、与用人单位的沟通记录等证据，以备不时之需。

综上所述，您有权因妈妈生病需要照顾而向厂里提出请假申请。如果厂里不批准，您可以与用人单位进行沟通，说明请假的重要性和紧迫性。如沟通无果，您可以考虑向劳动监察部门投诉或提起劳动争议。我建议您在请假前，先了解厂里的请假制度和流程，并准备好相关的请假材料和证据，以确保您的请假申请得到合理处理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。