关于签订无固定期限劳动合同是否需要书面申请的问题，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

一、法律要求与实际情况

在我国现行的法律框架下，对于无固定期限劳动合同的申请，并没有强制性的规定必须采取书面形式。这意味着，从法律的角度来说，口头申请也是被允许的。然而，在实际操作中，考虑到证据保存、明确合约双方权益责任以及避免未来可能出现的劳资纠纷，书面形式无疑具有更大的优势。

二、书面形式的优势

1. 证据保存：书面申请能够作为直接证据，证明劳动者与用人单位之间关于无固定期限劳动合同的约定。这对于未来可能出现的劳动争议来说，是非常重要的证据支持。
2. 明确权益责任：书面申请能够清晰地列出合约双方的权益和责任，避免因为口头约定而产生的模糊和不确定性。
3. 便于处理：用人单位可以更加及时、有效地对书面申请做出回应和处理，从而提高工作效率。

三、口头形式的风险

虽然口头申请在法律上是被允许的，但相比之下，它存在更大的风险。如果劳动者选择以口头方式提出申请，而没有相关的证据（如录音资料、证人证言等）来证实，那么在出现劳资纠纷时，劳动者可能会陷入举证困难的困境之中。

四、建议

因此，我们强烈建议劳动者在申请无固定期限劳动合同时，采用书面形式。这样不仅可以确保自己的权益得到最大程度的保护，还可以为未来可能出现的劳动争议提供强有力的证据支持。

综上所述，虽然签订无固定期限劳动合同在法律上并没有强制要求必须书面申请，但考虑到实际情况和潜在风险，书面形式无疑是更加明智和稳妥的选择。