关于员工提出签订无固定期限劳动合同是否需要写申请的问题，这主要取决于具体的情境和法律法规的规定。

首先，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在特定情境下，如劳动者在同一用人单位连续工作满十年等，用人单位有义务与劳动者签订无固定期限劳动合同，此时并不需要劳动者主动提出申请。也就是说，只要满足法律规定的条件，用人单位就应当主动与劳动者签订无固定期限劳动合同。

然而，在双方达成共识并自愿签署无固定期限劳动合同的情况下，劳动者可能需要主动向用人单位提出申请。这时，撰写一份清晰、详细的申请书就显得尤为重要。申请书应明确表达签订无固定期限劳动合同的诉求，并详细阐述符合签订条件的事实依据，如工作年限、已签订的劳动合同等。同时，也可以表达对公司的认同感、归属感以及长期服务的决心。

因此，员工在提出签订无固定期限劳动合同时，应根据具体情况判断是否需要撰写申请书。如果满足法定条件且用人单位有义务签订，则无需申请；如果双方自愿并达成共识，则建议劳动者主动提出申请，并撰写一份符合要求的申请书，以提高申请的成功率。