用人单位要求员工提出签订无固定期限劳动合同的申请，这一行为本身并不直接违法，但关键在于是否满足法定条件以及用人单位是否存在不当要求或限制。下面我将从几个角度详细分析这一问题：
一、无固定期限劳动合同的合法性
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，无固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这种合同形式在法律上是完全合法的，旨在为劳动者提供更稳定的就业保障，同时促进劳动关系的和谐稳定。
二、应当签订无固定期限劳动合同的情形
在以下法定情形下，用人单位应当主动与劳动者签订无固定期限劳动合同，而非要求劳动者提出申请：
连续工作满十年：劳动者在该用人单位连续工作满十年的，若劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同，并且未提出订立固定期限劳动合同的要求，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。
初次实行劳动合同制度或国有企业改制：用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。
连续订立二次固定期限劳动合同：连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），且劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，并明确要求订立无固定期限劳动合同的，用人单位应当与其订立无固定期限劳动合同。
三、用人单位要求员工提出申请的合法性分析
若员工已满足法定条件：如果员工已经满足上述应当签订无固定期限劳动合同的法定条件，那么用人单位应当主动提出签订无固定期限劳动合同，而无需员工提出申请。此时，如果用人单位要求员工提出申请，可能构成对员工权益的侵害，员工有权拒绝并要求用人单位依法签订无固定期限劳动合同。
若员工未满足法定条件：如果员工尚未满足应当签订无固定期限劳动合同的法定条件，那么用人单位要求员工提出申请签订无固定期限劳动合同，并不直接违法。但这种情况下，员工有权根据自己的意愿和职业规划决定是否提出申请，用人单位不得强迫或诱导员工做出不利于自己的选择。
四、注意事项与建议
了解自身权益：员工应充分了解自己的权益和劳动合同法的相关规定，以便在用人单位提出不合理要求时能够维护自己的合法权益。
保留证据：如果员工认为用人单位的要求不合理或存在违法行为，应保留相关证据（如邮件、聊天记录、劳动合同等），以便在需要时向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁。
协商解决：在发生争议时，双方应首先尝试通过协商解决。如果协商无果，员工可以向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁来维护自己的权益。
综上所述，用人单位要求员工提出签订无固定期限劳动合同的申请，并不直接违法，但关键在于是否满足法定条件以及用人单位是否存在不当要求或限制。如果员工遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供更详细的法律建议。