当老人病重无法亲自前往银行处理定期存款时，这确实是一个需要谨慎处理的问题。不过，如果老人不幸去世，其继承人可以按照一定流程提取这笔存款。以下是根据最新规定，关于已故存款人小额存款提取的详细解答：

一、提取限额与范围

1. 提取限额提高：根据最新的通知，已故存款人小额存款简化提取的账户限额已从最低1万元统一提高至5万元。这意味着，如果老人在同一银行的账户余额合计不超过5万元人民币（或等值外币，不含未结利息），其继承人无需提交公证书即可一次性提取存款及利息。

2. 提取范围扩大：除了银行存款外，现在还包括黄金积存产品以及国债、代销理财产品。这些金融产品与银行存款合并计入5万元的提取限额内。

二、提取所需材料

继承人办理已故存款人小额存款提取业务时，应提交以下材料：

1. 能够证明已故存款人死亡事实的材料（如死亡证明、火化证明等）。
2. 提取申请人的有效身份证件（如身份证、户口本等）。
3. 提取申请人亲笔签名的承诺书，承诺所提取的存款为合法继承。
4. 居民户口簿、结婚证、出生证明等能够证明亲属关系的材料，或者指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱。

如果提取申请人提交的材料不齐全或不符合要求，银行会一次性告知申请人需要补充或修改的内容。

三、查询交易账户明细

第一顺序继承人可以基于合法、正当理由申请查询已故存款人账户交易明细。银行应提供已故存款人死亡后以及死亡前6个月内的账户交易明细。但请注意，这一查询需求应基于合法和正当的理由，并且需要遵守个人信息保护和隐私权的相关规定。

四、丧葬费、抚恤金提取

如果已故存款人账户中汇入了丧葬费、抚恤金等资金，这些资金不计入5万元的账户限额内，可以全额简化提取。申请人可以通过适当方式表明账户中资金的性质，银行会通过核查交易信息和资金来源、申请人签署承诺书等方式确认资金性质，并办理简化提取手续。

五、注意事项

1. 及时咨询银行：不同银行的具体操作流程可能有所不同，建议继承人及时咨询相关银行以获取最准确的信息。
2. 保护个人信息：在处理已故存款人账户时，应注意保护其个人信息和隐私权，避免非必要、无限制的查询。
3. 合法继承：继承人应确保自己的继承行为合法合规，避免产生不必要的法律纠纷。

总的来说，国家已经出台了一系列优化措施来便利群众办理已故存款人的小额存款提取业务。继承人只需按照相关规定提交必要的材料并遵守操作流程即可顺利提取存款。