当老人身故后，其继承人或法定代理人需要提取老人在银行的存款时，可以遵循以下流程和规定，特别是根据最新的国家政策调整，以下是详细、清晰的解答：

一、小额存款简化提取

1. 提取限额：

   • 根据国家金融监督管理总局和中国人民银行最新发布的通知，已故存款人小额存款简化提取的账户限额已从最低1万元统一提高至5万元（或等值外币，不含未结利息）。这意味着，如果老人在同一银行的账户余额合计不超过5万元，继承人无需提交公证书即可一次性提取存款及利息。

2. 提取范围：

   • 简化提取的范围不仅限于银行存款，还包括银行业金融机构自身发行的非存款类金融产品，如黄金积存产品、国债以及代销的理财产品。这些产品与银行存款合并计入5万元的提取限额内。

3. 所需材料：

   • 继承人办理小额存款提取时，需提交以下材料：
     • 能够证明已故存款人死亡事实的材料（如死亡证明、火化证明等）。
     • 提取申请人的有效身份证件。
     • 提取申请人亲笔签名的承诺书，承诺所提交材料的真实性及合法性。
     • 居民户口簿、结婚证、出生证明等能够证明亲属关系的材料，或指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱（如有）。

4. 银行服务：

   • 如果提取申请人提交的材料不齐全或不符合要求，银行应一次性告知申请人相关要求，以便其及时补充或更正。

二、账户交易明细查询

• 第一顺序继承人可以基于合法、正当理由申请查询已故存款人账户的交易明细，银行应提供已故存款人死亡后以及死亡前6个月内的账户交易明细。但需注意，这一查询需遵循相关法律规定，以保护已故存款人的个人信息和隐私权。

三、丧葬费、抚恤金提取

• 如果已故存款人账户中汇入丧葬费、抚恤金，这些资金不计入5万元的账户限额，可以全额简化提取。申请人需通过适当方式表明账户中资金的性质，银行将通过核查交易信息和资金来源、申请人签署承诺书等方式确认资金性质后办理提取。

四、注意事项

• 继承人应尽快与银行联系并了解具体的提取流程和要求，因为不同银行可能会有一些细微的差别。
• 在办理提取过程中，继承人应确保提供的所有材料都是真实、有效的，以避免因材料问题导致提取受阻。
• 如果遇到任何问题或疑问，继承人可以随时向银行咨询或寻求专业法律帮助。

综上所述，老人身故后银行存款的提取需要遵循一定的流程和规定，特别是根据最新的国家政策调整，继承人可以更加便利地办理小额存款的提取。同时，也需要注意保护已故存款人的个人信息和隐私权，确保提取过程的合法性和正当性。