当老人病重或已经去世，家人需要提取其在银行的存款时，可以按照以下步骤操作：

首先，要确定存款的继承权。根据中国的法律规定，存款人死亡后，其存款将作为遗产由继承人继承。继承人需要向银行提供证明自己身份和继承权的文件。

如果存款金额较小（根据最新规定，小额存款简化提取的账户限额已提高至5万元人民币），并且继承人清楚存款的存在以及相关信息，那么可以选择简化提取的方式。具体来说，继承人需要向银行提交以下材料：

1. 能够证明已故存款人死亡事实的材料，如死亡证明或火化证明等；
2. 提取申请人的有效身份证件；
3. 提取申请人亲笔签名的承诺书，承诺所提交的材料真实有效，并愿意承担相应的法律责任；
4. 能够证明亲属关系的材料，如居民户口簿、结婚证、出生证明等，或者指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱。

如果存款金额超过5万元，或者继承人不清楚存款的具体信息，或者存在多个继承人且对继承权有争议，那么就需要通过更正式的方式来提取存款。具体来说，有以下几种方式：

1. 办理继承权证明书：继承人可以向银行营业网点所在地的公证处申请办理继承权证明书。申办公证需要提交直系亲属关系证明、财产凭证（如存单、有价证券等）、亲人的死亡证明等材料。所有继承人需要持本人身份证、户口本到公证处申请办理。公证处会根据提交的材料进行审查，并出具继承权证明书。继承人凭此证明书到银行办理存款过户或支取手续。

2. 通过法院处理：如果继承人之间对存款的继承权有争议，或者无法达成一致的分配意见，那么可以通过法院来处理。继承人可以以银行分支机构为被告，由法院直接判决银行给付；或者以继承纠纷方式进行，由法院确定遗产的归属。在法院作出判决或调解后，继承人可以依据有权享有的继承份额向银行主张权利，并提供相应的法律文书和证明材料。

需要注意的是，无论选择哪种方式提取存款，继承人都需要遵守相关的法律法规和银行规定。同时，为了保护已故存款人的个人信息和隐私权，银行在办理存款继承手续时也会进行严格的审核和确认。因此，在提取存款前，继承人最好先咨询银行或相关法律专业人士，了解具体的操作流程和要求。