在未签订劳动合同的情况下被老板辞退，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资及相应的经济补偿或赔偿金。以下是对这一问题的详细分析：

一、未签订劳动合同的双倍工资补偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，若用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在保障劳动者的合法权益，促进劳动合同的签订。

• 起算时间：从用工之日起满一个月的次日开始计算。例如，员工于2024年1月1日入职，若用人单位一直未与其签订劳动合同，则从2024年2月1日起计算双倍工资。

• 截止时间：至补订书面劳动合同的前一日；若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为自用工之日起满一年的当日已经与劳动者订立无固定期限劳动合同，此时双倍工资的计算截止时间为自用工之日起满一年的前一日。需要注意的是，双倍工资的支持期限最多为11个月。

• 计算方式：以员工的月工资为基数，乘以未签订劳动合同的月份数（最多11个月）。例如，若员工月工资为5000元，从入职第二个月到满一年前一日共10个月未签合同，则可获得的双倍工资差额为： $\( 5000元 \times 10 = 50000元 \)$ （此金额是除已正常发放的工资外，额外再支付的一倍）

二、解除劳动关系的经济补偿或赔偿金

在劳动关系解除时，根据解除的性质（合法或违法），员工有权获得不同的经济补偿或赔偿金。

1. 违法解除劳动关系：

   • 根据《劳动合同法》第八十七条，若用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同，需按照《劳动合同法》第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 赔偿金计算：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付两个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付一个月工资的经济补偿。若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。例如，员工在单位工作了3年2个月，月平均工资为6000元，若老板违法解除劳动关系，则赔偿金为： $\( 6000元 \times 3.5 \times 2 = 42000元 \)$

2. 合法解除劳动关系：

   • 若用人单位依据《劳动合同法》规定的合法情形解除劳动关系，如员工不能胜任工作且经过培训或调整岗位后仍不能胜任，用人单位需提前三十日以书面形式通知劳动者或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并向劳动者支付经济补偿。
   • 经济补偿计算：同样按照《劳动合同法》第四十七条的规定执行，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。例如，员工工作1年3个月，月平均工资为4000元，若老板合法解除劳动关系，则需支付的经济补偿为： $\( 4000元 \times 1.5 = 6000元 \)$

三、维权途径

• 劳动者可先与用人单位协商解决赔偿问题。
• 协商不成时，可向劳动监察部门投诉或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
• 对仲裁结果不服的，还可向人民法院提起诉讼。

总结：在未签订书面劳动合同且被辞退的情况下，劳动者应首先确认自己与用人单位是否存在劳动关系。若存在劳动关系且被违法辞退，劳动者有权主张未签订书面劳动合同的二倍工资差额以及违法辞退的赔偿金。具体赔偿数额和方式需根据实际情况进行计算和判断。如果你有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。