当公司未与员工签订书面劳动合同并随后辞退员工时，员工有权获得相应的补偿，这主要涉及两方面的法律责任：一是因未签订书面劳动合同的双倍工资补偿，二是如构成违法辞退，需支付的赔偿金。以下是对这两方面问题的详细解析：

一、未签订书面劳动合同的双倍工资补偿

法律依据： 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

计算方法：

1. 计算期限：

   • 从用工之日起满一个月的次日开始计算，至补订书面劳动合同的前一日为止。若满一年仍未签订，则双倍工资的支付期限为自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，共计11个月。
   • 例如，员工于2024年1月1日入职，若公司一直未与其签订劳动合同，则从2024年2月1日起至补签或满一年前的某日（如2024年12月31日），公司应支付双倍工资。

2. 计算基数：

   • 双倍工资的计算基数包括劳动者的所有货币性收入，如计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等。
   • 若劳动者在解除或终止劳动合同前12个月的平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准计算。工作不满12个月的，按实际工作的月数计算平均工资。

特殊情况：

• 若劳动者拒绝与用人单位签订书面劳动合同，用人单位在书面通知劳动者终止劳动关系后，需支付一个月（或半个月，视具体情况而定）的经济补偿金。

二、违法辞退的赔偿金

法律依据： 若公司辞退员工的行为被认定为违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，公司需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

计算方法：

1. 经济补偿标准：

   • 按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。
   • 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
   • 月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 赔偿金计算：

   • 赔偿金为经济补偿标准的两倍。
   • 例如，员工在公司工作了3年零4个月，其月平均工资为5000元。若公司违法辞退该员工，则应支付的赔偿金为\(3.5 \times 5000 \times 2 = 35000\)元。

三、注意事项

1. 合法辞退与违法辞退的区分：

   • 若公司有证据证明辞退员工符合《劳动合同法》规定的合法解除情形（如员工严重违反规章制度），则无需支付赔偿金。
   • 员工存在故意或重大过失导致公司巨大损失的情况下，可能影响其获得上述补偿。

2. 维权途径：

   • 在实际操作中，建议劳动者先与公司协商解决补偿问题。
   • 协商不成的，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁以维护自身权益。
   • 对仲裁裁决不服的，还可以向人民法院提起诉讼。

3. 证据收集：

   • 劳动者应保留工资记录、考勤表、工作证、同事证言等材料，以证明劳动关系及辞退事实。

综上所述，公司在未签订书面劳动合同的情况下辞退员工，需承担相应的法律责任。劳动者应了解自己的权益，并在必要时寻求专业法律帮助以维护自身利益。