公司未签订劳动合同辞退员工，员工可主张的补偿与赔偿主要分为两部分：一是未签订书面劳动合同的双倍工资补偿；二是违法辞退的赔偿金。以下是对这两部分内容的详细分析：

一、未签订书面劳动合同的双倍工资补偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。具体计算标准如下：

1. 计算期限：从用工之日起满一个月的次日开始计算，至补订书面劳动合同的前一日为止。若满一年仍未签订，则双倍工资的支付期限为自用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日，共计11个月。

   • 示例：员工小张于2024年5月1日入职，若公司一直未与其签订劳动合同，则从2024年6月1日起至补签或满一年前的某日（如2025年4月30日），公司应支付双倍工资。

2. 计算基数：双倍工资的计算基数包括劳动者的所有货币性收入，如计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等。若劳动者在解除或终止劳动合同前12个月的平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准计算。工作不满12个月的，按实际工作的月数计算平均工资。

二、违法辞退的赔偿金

若公司辞退员工的行为被认定为违法解除劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条的规定，公司需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。具体计算方法为：

1. 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 赔偿金计算：赔偿金为经济补偿标准的两倍。

   • 示例：员工小李在公司工作了2年零8个月，其月平均工资为6000元。若公司违法辞退小李，则应支付的赔偿金为\(3 \times 6000 \times 2 = 36000\)元。

三、注意事项与建议

1. 合法辞退情形：若公司有证据证明辞退员工符合《劳动合同法》规定的合法解除情形（如员工严重违反规章制度），则无需支付赔偿金。但需注意，公司应确保规章制度的合法性、合理性，并已向员工公示。

2. 员工过失影响：员工存在故意或重大过失导致公司巨大损失的情况下，可能影响其获得上述补偿。但公司需承担举证责任，证明员工的过失与损失之间的因果关系。

3. 维权途径：

   • 协商：建议劳动者先与公司协商解决补偿问题，明确诉求，合理计算赔偿金额。
   • 投诉：协商不成的，可向劳动监察部门投诉，要求公司支付未签合同的双倍工资及违法辞退的赔偿金。
   • 仲裁：若投诉无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律途径维护自身权益。

4. 证据收集：劳动者应保留好工作证、考勤记录、工资条等能证明劳动关系及工作情况的证据，以便在维权时提供有力支持。

综上所述，公司在未签订书面劳动合同的情况下辞退员工，需承担相应的法律责任。劳动者应了解自己的权益，并在必要时寻求专业法律帮助以维护自身利益。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。