结论：在第二次劳动合同到期不续签的情况下，员工提出恢复劳动关系，这一请求能否得到支持，需根据具体情况判断，主要包括用人单位不续签的合法性、员工是否提出签订无固定期限劳动合同以及用人单位是否违法解除劳动合同等因素。以下是对此问题的详细分析：
一、用人单位不续签的合法性
合法不续签：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，用人单位可以依法选择不续签劳动合同。在此情况下，用人单位通常需要向员工支付经济补偿金，但无需恢复劳动关系。经济补偿金的标准通常按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
违法不续签：如果用人单位在劳动合同期满时，未按照法律规定与员工续签劳动合同，或者存在其他违法行为（如未提前通知、未支付经济补偿金等），员工则有权要求用人单位恢复劳动关系，并可能要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。
二、员工是否提出签订无固定期限劳动合同
员工提出签订无固定期限劳动合同：根据《劳动合同法》的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，员工提出或者同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。如果用人单位在此情况下拒绝续签无固定期限劳动合同，员工则有权要求恢复劳动关系。
员工未提出签订无固定期限劳动合同：如果员工在第二次劳动合同期满时，未提出签订无固定期限劳动合同，而是接受了用人单位提出的续签固定期限劳动合同的条件，或者未对续签劳动合同提出异议，那么在此情况下，员工通常难以要求恢复劳动关系。
三、用人单位是否违法解除劳动合同
违法解除劳动合同：如果用人单位在劳动合同期满时，以不合法或不合理的理由拒绝续签劳动合同，或者未按照法律规定履行相关程序（如未提前通知、未支付经济补偿金等），则可能构成违法解除劳动合同。在此情况下，员工有权要求用人单位恢复劳动关系，并可能要求用人单位支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。
合法解除劳动合同：如果用人单位在劳动合同期满时，因员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形而拒绝续签劳动合同，且这些情形有充分的证据支持，那么用人单位的行为可能构成合法解除劳动合同。在此情况下，员工通常难以要求恢复劳动关系。
四、实际操作建议
对于员工：如果员工认为用人单位在第二次劳动合同期满时不续签劳动合同的行为违法，且希望恢复劳动关系，建议员工及时收集相关证据（如劳动合同、工资单、通知不续签的书面材料等），并向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位恢复劳动关系并支付相应的赔偿或补偿。
对于用人单位：如果用人单位决定不续签劳动合同，建议用人单位提前与员工沟通，明确告知不续签的理由和依据，并按照法律规定支付经济补偿金。同时，用人单位应确保不续签劳动合同的行为合法合规，避免引发劳动争议。
最后，劳动关系问题往往涉及复杂的法律条款和实际情况，如果你或你身边的人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。