若员工被无故开除，用人单位属于违法解除劳动合同，员工有权要求赔偿；若因员工存在法定过错被开除，则用人单位无需赔偿，但需依法履行相应程序。以下从不同情况为你详细分析：

用人单位违法解除劳动合同的情况

如果用人单位没有合法理由就将员工开除，这属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

经济补偿标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。你工作了5个月，那么经济补偿就是半个月工资，违法解除的赔偿金就是这个经济补偿的二倍，也就是一个月工资。

在这种情况下，你可以先与用人单位协商，要求其支付赔偿金。如果协商不成，你可以向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门会依法对用人单位的违法行为进行查处，并责令其支付赔偿金。你也可以直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过法律途径维护自己的合法权益。在申请仲裁时，你需要提供能够证明你与用人单位存在劳动关系以及用人单位违法解除劳动合同的证据，比如劳动合同、工资条、开除通知等。

用人单位合法解除劳动合同的情况

如果员工存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，用人单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿或赔偿金。这些情形包括：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的：不过用人单位需要提供充分的证据证明你不符合录用条件，比如录用时明确规定的考核标准、你的考核结果等。
2. 严重违反用人单位的规章制度的：用人单位的规章制度需要是经过民主程序制定、公示且不违反法律法规的。同时，用人单位要证明你的行为达到了“严重违反”的程度。
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的：用人单位需要证明你存在失职或舞弊行为，并且该行为给单位造成了重大损害，“重大损害”通常需要根据单位的实际情况和损失情况进行认定。
4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的：用人单位要证明你与其他单位存在劳动关系，并且对你的工作造成了严重影响，或者在你拒不改正的情况下解除合同。
5. 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的：即你以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任的：需要提供法院的刑事判决书等证明文件。

如果用人单位是因为这些合法理由开除你，那么用人单位需要依法履行相应的程序，比如提前通知你或者支付代通知金等。如果用人单位没有履行法定程序，也可能构成违法解除，你需要根据具体情况来判断并维护自己的权益。

如果你遇到了被开除的情况，不清楚用人单位的行为是否合法，或者不知道如何维护自己的权益，都可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律建议和帮助。