结论：签了劳动合同后，员工因被投诉而被公司老板直接开除，这一行为是否合法，需根据具体情况来判断，不能一概而论。

分析如下：

1. 合法解除劳动合同的情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在特定情形下可以解除劳动合同，这些情形包括但不限于：员工在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。
   • 如果员工被投诉的内容属于上述合法解除劳动合同的情形之一，且公司能够提供充分证据证明，那么公司老板开除员工的行为可能是合法的。

2. 非法解除劳动合同的情形：

   • 如果员工被投诉的内容并不构成合法解除劳动合同的情形，或者公司无法提供充分证据证明员工存在过错，那么公司老板直接开除员工的行为就可能是非法的。
   • 在这种情况下，员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。赔偿金的计算通常依据员工在公司的工作年限和工资水平来确定。

3. 程序合法性：

   • 除了实体合法性外，公司解除劳动合同的程序也必须合法。例如，公司应当事先将解除劳动合同的理由通知工会（如果公司有工会的话），并听取工会的意见。如果公司未按照法定程序解除劳动合同，即使员工存在过错，公司的解除行为也可能被认定为非法。

4. 具体建议：

   • 对于员工而言，如果认为自己被非法解雇，可以收集相关证据（如劳动合同、工资单、被投诉的记录、公司解除劳动合同的通知等），并向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
   • 对于公司而言，在解除劳动合同前应当谨慎评估，确保解除行为既符合实体合法性也符合程序合法性。如果无法确定解除行为的合法性，建议咨询专业律师以避免法律风险。

举例说明：

• 假设员工因被投诉在工作中存在严重失职行为，且公司能够提供监控录像、工作记录等证据证明员工确实存在过错，那么公司老板开除员工的行为可能是合法的。
• 相反，如果员工仅因被投诉态度不好而被开除，且公司无法提供其他证据证明员工存在其他严重过错，那么这一行为就可能是非法的。

后续行动建议：

• 如果你或你身边的人遇到了类似情况，建议首先收集相关证据，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
• 如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律分析和建议。