在劳动仲裁中，当事人确实有权申请仲裁员回避。这是为了确保仲裁程序的公正性、中立性以及仲裁结果的公平、客观。以下是对此问题的详细解析：
一、申请仲裁员回避的情形
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第三十三条的规定，仲裁员在存在以下情形时，必须回避，当事人也有权提出回避申请：
身份关系冲突：仲裁员是本案当事人或者当事人、代理人的近亲属。这里的“近亲属”通常包括配偶、父母、子女、兄弟姐妹以及具有直接血缘或婚姻关系的人员。由于亲情关系的存在，仲裁员可能无法保持客观公正，从而影响裁决的公正性。
利害关系冲突：仲裁员与本案存在直接的利害关系，可能影响其公正裁决。例如，仲裁员与案件处理结果存在经济利益、关联业务或其他利益损害关系，这种利害关系可能影响其公正裁决。
其他影响公正的关系：仲裁员与本案当事人、代理人之间存在其他可能影响公正仲裁的关系。这种“其他关系”范围广泛，包括但不限于亲戚（除近亲属外）、同学、朋友、同事、师生等。这些关系有可能影响仲裁员在案件审理过程中的中立性和公正性。
不当接触：仲裁员私自会见当事人、代理人，或者接受当事人、代理人的请客送礼。这种行为严重违反了仲裁员的职业操守，极易导致不公正裁决，损害另一方当事人的利益。
二、申请仲裁员回避的程序
当事人申请仲裁员回避需遵循以下程序：
提交申请：当事人应以口头或书面形式提出回避申请，明确申请回避的对象，并详细说明申请回避的具体事实和理由。口头申请的，由劳动争议仲裁委员会或仲裁庭记录在案，并可根据需要要求当事人签字确认。
申请时间：原则上，当事人应在首次开庭前提出回避申请。若回避事由在首次开庭后才得知，则可以在庭审辩论终结前提出。当事人在庭审辩论终结后提出回避申请的，不影响仲裁程序的进行。
处理流程：劳动争议仲裁委员会或其授权的办事机构负责人应当及时对回避申请作出决定，并以口头或者书面方式通知当事人。若决定回避，将另行指定仲裁员继续审理案件；若决定不回避，当事人应尊重该决定，并积极配合新的仲裁员（若未更换）进行案件审理。
三、申请仲裁员回避的注意事项
暂停参与：被申请回避的仲裁员，在仲裁委员会作出是否回避的决定前，应暂停参与本案的仲裁工作（但因案件需要采取紧急措施的除外），以确保仲裁程序的公正性不受影响。
充分举证：当事人申请回避时，应提供充分的证据证明仲裁员存在应当回避的情形，以增加申请获得支持的可能性。
尊重决定：当事人应尊重仲裁委员会作出的回避决定，并积极配合新的仲裁员进行案件审理。若对回避决定有异议，可在规定时间内申请复议，但复议期间仲裁程序将继续进行。
总结：在劳动仲裁中，申请仲裁员回避是保障仲裁公正性的重要制度。当事人应当充分了解这一权利，并在必要时合理运用它，以确保自己的合法权益得到公正维护。若您在劳动仲裁过程中遇到相关问题，可直接向我咨询，我将为您提供专业的法律帮助。