结论：私营企业员工未签订劳动合同但在上班期间死亡，是否赔偿需根据具体情况判断，主要涉及是否构成工伤以及用人单位的责任问题。以下从不同角度详细分析：
一、是否构成工伤
工伤认定条件：
- 根据《工伤保险条例》第十五条，职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。
- 若员工是在工作时间和工作岗位上因工作原因受到事故伤害导致死亡，也符合工伤认定条件。
未签订劳动合同的影响：
- 未签订劳动合同并不影响工伤的认定。只要存在事实劳动关系，即员工实际为用人单位提供了劳动，并接受了用人单位的管理和支配，就应当认定为劳动关系。
- 员工或其家属可以通过工资支付记录、工作证、考勤记录等证据来证明事实劳动关系的存在。
二、用人单位的责任
工伤赔偿：
- 如果员工死亡被认定为工伤，用人单位应当承担工伤赔偿责任，包括一次性工亡补助金、丧葬补助金、供养亲属抚恤金等。
- 一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 丧葬补助金为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。
未签订劳动合同的双倍工资差额：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 若员工死亡前未签订劳动合同，且用工时间超过一个月，用人单位还需支付未签订劳动合同的双倍工资差额（扣除已支付的部分）。但这一请求通常需由员工本人或其法定继承人在一定期限内提出，具体期限可能因地区而异。
其他可能的赔偿：
- 如果用人单位存在过错，如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等，导致员工死亡，用人单位还可能需承担侵权责任，赔偿员工家属因此遭受的损失。
三、实际操作建议
及时申请工伤认定：
- 员工家属应在员工死亡后尽快向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提供相关证据材料。
收集证据：
- 收集能够证明事实劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
咨询专业律师：
- 由于工伤认定和赔偿涉及复杂的法律程序和证据收集，建议员工家属咨询专业律师，以更好地维护自身权益。不过，在这里你可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律指导和帮助。
注意时效：
- 工伤认定申请有一定的时效限制，通常为自员工死亡之日起一年内。因此，员工家属应尽快行动，以免错过申请时机。