结论：私营企业员工在家中病亡，公司是否需要赔偿，需根据具体情况来判断，主要看是否构成工伤以及公司是否存在过错。

分析如下：

1. 是否构成工伤：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤通常指的是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到的事故伤害，或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害，以及上下班途中受到非本人主要责任的交通事故等情形。员工在家中病亡，一般不属于上述工伤的典型情形。
   • 但是，如果员工是在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡，或者是在48小时之内经抢救无效死亡的，那么根据《工伤保险条例》第十五条的规定，可以视同工伤。不过，这种情况通常指的是在工作场所内突发疾病，而非家中。若员工能证明其在家中病亡与工作有直接关联（如因工作过度劳累导致在家中突发疾病），且符合视同工伤的其他条件，理论上也有可能被认定为工伤，但实践中这种情况较为罕见且认定难度较大。

2. 公司是否存在过错：

   • 如果员工在家中病亡并非因工作原因导致，且公司不存在任何过错（如未提供必要的工作条件、未履行安全保障义务等），那么公司通常不需要承担赔偿责任。
   • 如果公司存在过错，比如要求员工长时间加班导致过度劳累，进而引发疾病在家中病亡，那么公司可能需要承担一定的赔偿责任。这种赔偿责任可能基于侵权责任法或劳动合同法的相关规定，具体取决于过错程度和损害后果。

建议：

• 对于员工家属而言，如果认为员工在家中病亡与公司有关，且公司存在过错，可以收集相关证据（如工作记录、医疗记录、证人证言等），向公司提出索赔要求。如果公司拒绝赔偿，可以考虑通过法律途径解决争议。
• 对于公司而言，如果面临此类纠纷，应积极与员工家属沟通协商，了解具体情况和诉求。如果认为公司不存在过错或赔偿责任有限，可以提供相关证据进行抗辩。同时，公司也应加强内部管理，确保员工的工作条件和安全保障符合法律法规要求，以减少类似纠纷的发生。

后续行动：

• 如果您或您的家人遇到类似情况，且对是否构成工伤或公司是否存在过错有疑问，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况和提供的证据，给出更详细的法律分析和建议。