核心结论：若保险公司已按合同完成赔付，家属仍要求额外赔偿，需分情况处理。以下是具体分析及建议：

1. 确认保险合同赔付范围是否已覆盖全部损失

• 若赔付已覆盖：保险公司赔付金额通常基于合同条款（如医疗费、死亡赔偿金、误工费等），若家属主张的“额外赔偿”超出合同范围（如精神损害赔偿、惩罚性赔偿等），需明确：
  • 保险合同是否明确排除该类赔偿：若合同中已约定“不承担精神损害赔偿”等条款，家属要求可能无法律依据；
  • 家属主张是否基于其他法律关系：如家属认为侵权方（如交通事故责任方）需单独承担赔偿责任，可引导其通过诉讼向侵权方主张，与保险赔付无关。
• 若赔付未覆盖：需核查是否存在以下情形：
  • 保险合同存在免责条款未尽告知义务：若保险公司未对免责条款（如酒驾免赔）进行明确提示，家属可主张该条款无效；
  • 保险事故存在扩大损失的情形：如家属故意扩大损失（如过度治疗），保险公司可能拒赔扩大部分。

2. 家属主张的“额外赔偿”是否具有法律依据

• 若家属主张侵权赔偿：
  • 保险赔付与侵权赔偿可并存：例如，在交通事故中，保险公司赔付医疗费后，家属仍可向肇事方主张残疾赔偿金、被扶养人生活费等（需以实际损失为限）；
  • 需注意“损失填补原则”：若保险赔付已完全覆盖损失，家属再主张侵权赔偿可能构成重复获益，法院可能不予支持。
• 若家属主张保险合同外补偿：
  • 需双方自愿协商：如家属以“人道主义”为由要求补偿，需保险公司同意并签订书面协议，否则无法律强制力；
  • 警惕“道德风险”：若家属通过闹访、威胁等手段索要额外赔偿，可能涉嫌敲诈勒索，保险公司可报警处理。

3. 建议处理步骤

• 第一步：固定证据：
  • 保存保险合同、赔付凭证、家属书面主张等材料；
  • 若家属通过口头或非正式方式索赔，建议通过书面（如邮件、短信）或录音方式固定其主张。
• 第二步：协商沟通：
  • 向家属明确赔付范围及法律依据，解释合同条款；
  • 若家属主张合理（如合同未覆盖的法定赔偿），可协商补充赔付；
  • 若家属主张无理，可明确拒绝并告知法律后果。
• 第三步：法律途径：
  • 若家属持续纠缠，可发送律师函警告；
  • 若涉嫌侵权（如骚扰、诽谤），可起诉要求停止侵害并赔偿损失；
  • 若家属提起诉讼，需积极应诉，提交赔付凭证等证据。

总结：保险公司赔付后，家属的额外要求需结合合同条款、法律关系及实际损失综合判断。建议优先通过协商解决，若无法达成一致，可依法维护自身权益。如有具体案件细节，可进一步向我咨询。