结论：退休医师没和原返聘单位签离职合同，一般情况下不会直接影响下一个单位的应聘，但可能存在一些潜在风险或特殊情况需要注意。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况下的不影响
法律关系层面：
- 退休医师与原返聘单位之间若未签订离职合同，但事实上已经终止了返聘关系（如停止工作、领取了最后工资等），从法律上讲，双方的权利义务关系已经终结。此时，退休医师作为自由职业者或求职者，其应聘下一个单位的行为，与原返聘单位无直接法律关联。
应聘流程层面：
- 下一个单位在招聘时，主要关注的是应聘者的专业技能、工作经验、健康状况等是否符合岗位要求。除非原返聘单位在应聘过程中提供负面评价或存在其他特殊情况（如涉及竞业限制、保密协议等），否则未签离职合同通常不会成为应聘的障碍。
二、潜在风险或特殊情况
竞业限制与保密协议：
- 如果退休医师与原返聘单位签订了竞业限制协议或保密协议，且未按照协议规定履行离职手续（如未提前通知、未支付违约金等），则可能面临法律纠纷。这种情况下，原返聘单位可能会通过法律途径追究退休医师的责任，甚至影响其下一个单位的应聘（如新单位因担心法律风险而拒绝录用）。
原单位负面评价：
- 如果退休医师在返聘期间表现不佳或存在违规行为，原返聘单位可能会在其应聘下一个单位时提供负面评价。虽然这种评价不一定具有法律效力，但可能影响新单位的录用决策。
社保与公积金转移：
- 如果退休医师在返聘期间由原单位缴纳社保和公积金，未签离职合同可能导致社保和公积金的转移手续无法顺利办理。虽然这不会直接影响应聘下一个单位，但可能影响退休医师在新单位的社保和公积金待遇。
三、建议与措施
与原单位协商：
- 退休医师应尽快与原返聘单位协商，明确双方的权利义务关系，并签订离职合同或相关协议，以避免潜在的法律风险。
保留相关证据：
- 在协商过程中，退休医师应保留好与原单位的沟通记录、工资发放记录等相关证据，以备不时之需。
咨询专业律师：
- 如果退休医师对离职合同或相关法律问题存在疑问，可以直接向我咨询。我可以根据具体情况提供专业的法律意见和建议。
关注新单位要求：
- 在应聘下一个单位时，退休医师应仔细阅读招聘公告和岗位要求，了解新单位对离职证明、社保转移等方面的具体要求，并提前做好准备。
总之，退休医师没和原返聘单位签离职合同，在一般情况下不会直接影响下一个单位的应聘。但为了确保自身权益和避免潜在风险，建议退休医师尽快与原单位协商并签订离职合同或相关协议。如有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。