结论：狗主人在公园未牵狗绳造成老人重大伤残，狗主人需承担相应的法律责任，包括民事赔偿，甚至可能面临刑事责任。以下从民事和刑事两个角度进行详细分析：
一、民事责任层面
侵权责任认定：
- 根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编，狗主人因未尽到管理义务（未牵狗绳），导致狗咬伤老人并造成重大伤残，狗主人应当承担侵权责任。
- 侵权责任的构成要件包括：行为人实施了侵权行为（未牵狗绳导致狗咬人）、造成了损害后果（老人重大伤残）、侵权行为与损害后果之间存在因果关系。
赔偿范围与标准：
- 赔偿范围通常包括医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等。
- 若老人因伤致残，还需赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费等费用。赔偿标准依据受害人的实际损失及当地经济发展水平等因素综合确定。
- 计算公式示例（以残疾赔偿金为例）：残疾赔偿金 = 受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入 × 伤残系数 × 赔偿年限（如20年，但60周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；75周岁以上的，按5年计算）。
证据收集与诉讼：
- 老人或其家属应尽快收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言、医疗记录等，以证明狗主人的侵权行为及造成的损害后果。
- 可以向法院提起民事诉讼，要求狗主人承担民事赔偿责任。在诉讼过程中，法院将根据双方提供的证据进行审理，并作出判决。
二、刑事责任层面
过失致人重伤罪的构成：
- 如果狗主人的行为被认定为过失，且该过失行为导致老人重伤（根据伤残等级评定标准，重大伤残通常构成重伤），则狗主人可能构成过失致人重伤罪。
- 过失致人重伤罪的构成要件包括：行为人主观上具有过失（应当预见自己的行为可能发生危害社会的结果，因为疏忽大意而没有预见，或者虽然已经预见而轻信能够避免）、客观上实施了过失行为、该行为导致他人重伤的后果。
刑事责任追究：
- 若狗主人构成过失致人重伤罪，将面临三年以下有期徒刑或者拘役的刑事处罚。
- 刑事责任的追究需由公安机关立案侦查，检察机关提起公诉，法院进行审理并作出判决。
刑事与民事责任的竞合：
- 在狗主人同时承担刑事责任和民事责任的情况下，刑事责任的追究并不影响民事责任的承担。即狗主人仍需对老人进行民事赔偿，同时可能面临刑事处罚。
建议：
- 老人或其家属应尽快报警，并收集相关证据以支持其民事赔偿和刑事责任追究的请求。
- 可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和赔偿标准，以便更好地维护自身权益。
- 狗主人应积极配合调查，并承担相应的法律责任。同时，也可以考虑与老人或其家属进行协商，寻求和解或赔偿协议，以减轻法律后果。
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