结论：您可以就口头约定的工资差异问题申请劳动仲裁，但需要收集相关证据来证明口头约定的存在及具体内容。

分析说明：

1. 口头约定的法律效力：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，虽然书面劳动合同是更常见的形式，但口头约定在符合一定条件下也具有法律效力。特别是当双方对口头约定的事实无争议，或者一方能提供充分证据证明口头约定的存在及内容时，口头约定应被认可。

2. 证据收集的重要性：

   • 在您的情况下，由于没有签订书面劳动合同，因此收集能够证明口头约定工资标准的证据就显得尤为重要。这些证据可以包括但不限于：与雇主的聊天记录、录音、证人证言等，这些证据需要能够清晰地反映出雇主曾口头承诺第一个月给4000元，第二个月给4500元的事实。

3. 劳动仲裁的申请流程：

   • 您需要准备一份详细的仲裁申请书，明确陈述您的仲裁请求（即要求雇主支付第二个月工资的差额部分）和事实理由（即口头约定的存在及雇主未履行约定的事实）。
   • 同时，您需要提交上述收集到的证据材料，以支持您的仲裁请求。
   • 仲裁委员会在受理您的申请后，会安排开庭审理，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。

4. 可能的法律后果：

   • 如果仲裁委员会认定您的口头约定有效，且雇主确实未按照约定支付工资，那么雇主可能需要承担支付工资差额的法律责任。
   • 如果仲裁委员会认为您提供的证据不足以证明口头约定的存在或具体内容，那么您的仲裁请求可能会被驳回。

行动建议：

• 尽快收集证据：立即开始收集能够证明口头约定工资标准的证据，如聊天记录、录音等。
• 准备仲裁申请书：撰写一份详细的仲裁申请书，明确陈述您的仲裁请求和事实理由。
• 提交仲裁申请：将仲裁申请书和收集到的证据材料一并提交给当地的劳动仲裁委员会。
• 关注仲裁进展：在仲裁过程中保持与仲裁委员会的沟通，及时了解仲裁进展情况，并根据需要补充证据或提供陈述。

后续思考：

• 在未来的工作中，建议您尽量与雇主签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务，避免类似纠纷的发生。
• 如果在仲裁过程中遇到任何困难或问题，您可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供进一步的法律建议和帮助。