在订立无固定期限劳动合同的过程中，若一方提出订立固定期限劳动合同，关于举证责任的承担，主要取决于提出主张的一方以及具体的事实情况。以下是从不同角度进行的详细分析：
若劳动者提出订立固定期限劳动合同：
- 举证责任：在这种情况下，如果用人单位对劳动者的这一主张提出异议，或者双方因此产生争议并诉诸法律，那么劳动者需要承担举证责任。劳动者需要提供证据证明自己确实提出了订立固定期限劳动合同的要求，例如书面申请、邮件、短信等能够证明其主张的证据。
- 法律后果：如果劳动者无法提供充分证据证明其主张，而用人单位又否认劳动者的说法，那么法院或仲裁机构可能会倾向于支持用人单位的观点，即认为双方原本应订立无固定期限劳动合同。
若用人单位提出订立固定期限劳动合同：
- 举证责任：如果用人单位主张是劳动者同意或要求订立固定期限劳动合同，那么用人单位需要承担举证责任。用人单位需要提供证据证明劳动者确实同意或要求订立固定期限劳动合同，例如劳动者签字的同意书、录音录像等。
- 特殊情况：如果用人单位未能提供充分证据，而劳动者又否认用人单位的说法，且劳动者符合订立无固定期限劳动合同的条件（如连续工作满十年、连续订立两次固定期限劳动合同等），那么法院或仲裁机构通常会支持劳动者的观点，即认为用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
举证责任的一般原则：
- 在民事诉讼中，举证责任通常遵循“谁主张，谁举证”的原则。即提出主张的一方需要承担举证责任，证明其主张的事实成立。
- 在劳动争议中，这一原则同样适用。无论是劳动者还是用人单位，只要提出主张，就需要提供相应的证据来支持其主张。
法律建议：
- 对于劳动者而言，如果用人单位提出订立固定期限劳动合同，而劳动者希望订立无固定期限劳动合同，那么劳动者应当明确表达自己的意愿，并保留好相关证据，如书面拒绝、邮件回复等。
- 对于用人单位而言，如果希望与劳动者订立固定期限劳动合同，应当确保劳动者明确同意，并保留好劳动者同意的证据，如签字确认的协议、录音录像等。
总结来说，举证责任的承担取决于提出主张的一方以及具体的事实情况。在劳动争议中，双方都应当注意保留好相关证据，以便在争议发生时能够维护自己的合法权益。如果您在劳动合同订立过程中遇到任何问题或争议，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。