在未签订无固定期限劳动合同的争议中，举证责任并非完全由某一方单独承担，而是根据具体情况和“谁主张，谁举证”的原则进行分配。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动者需承担的举证责任
证明符合签订条件：
- 劳动者若主张单位应与其签订无固定期限劳动合同而未签订，首先需要证明自己符合签订无固定期限劳动合同的条件。这通常包括证明自己在单位的工作年限已达到法定要求（如连续工作满十年，或连续订立两次固定期限劳动合同后再次续订等）。
- 劳动者可以通过提供劳动合同、工资支付记录、社保缴纳记录、工作证、服务证、入职登记表等证据来证明自己的工作年限和劳动关系。
证明单位未签订合同：
- 劳动者还需要证明单位未与其签订无固定期限劳动合同。这可以通过提供与单位沟通签订合同的记录（如邮件、短信、录音等）或单位明确拒绝签订合同的证据来证明。
二、单位需承担的举证责任
协商过程的举证：
- 当劳动者已初步证明自己符合签订无固定期限劳动合同的条件后，单位需要对是否与劳动者进行过签订劳动合同的协商过程承担举证责任。这包括提供协商会议的记录、谈话录音、往来邮件或短信等能体现协商过程和内容的材料。
- 如果单位无法提供这些证据，可能会被视为未尽到与劳动者协商签订无固定期限劳动合同的义务。
特殊情况的举证：
- 若单位以劳动者存在特定过错或不符合签订条件为由拒绝签订无固定期限劳动合同，单位需要对这些特定事实提供充分证据。例如，如果单位主张劳动者不符合签订无固定期限劳动合同的工作年限要求，那么单位需要提供相反的证据来证明这一点。
三、法律依据与维权途径
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第六条的规定，发生劳动争议时，当事人对自己提出的主张有责任提供证据。与争议事项有关的证据属于用人单位掌握管理的，用人单位应当提供；用人单位不提供的，应当承担不利后果。
- 如果劳动者主张单位未与其签订无固定期限劳动合同，并提供了初步证据证明自己符合签订条件，而单位无法提供相反证据或协商过程的证据，那么仲裁机构或法院可能会认定单位未尽到签订合同的义务，从而承担相应的法律后果。
- 劳动者在发现未签订无固定期限劳动合同的情况后，应首先尝试与公司协商解决，要求补签合同。若协商不成，可向当地劳动监察部门投诉举报，或向劳动仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，可依法向人民法院提起诉讼。
建议：在面对未签订无固定期限劳动合同的争议时，劳动者应积极收集各类证据以证明自己的主张，并依据法律法规通过合法途径维护自己的合法权益。同时，单位也应严格遵守法律规定，与劳动者签订劳动合同，确保双方权益得到妥善保护。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。