县级医院在编人员被判刑后，开除需要经过以下法定手续：

1. 单位内部调查与取证
   医院作为用人单位，需首先对员工被判刑的情况进行内部调查，核实刑事判决书的真实性及生效情况。根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条，单位需确认判决是否属于“依法被判处有期徒刑以上刑罚”的情形（如缓刑是否影响开除需结合具体规定）。

2. 提出处分建议并报批
   医院人事部门需根据调查结果，提出开除处分的书面建议，并附上刑事判决书、内部调查报告等材料，报请医院领导班子集体讨论决定。若医院为县级卫生健康局下属事业单位，还需将处分建议上报至主管部门（如卫健局）审批。

3. 正式作出处分决定
   经审批后，医院需以书面形式作出开除处分决定，明确处分依据（如《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条）、生效日期及申诉权利。处分决定需加盖医院公章，并由法定代表人或授权负责人签发。

4. 送达与告知义务
   处分决定需直接送达被处分人本人；若本人拒绝签收或无法联系，可采取留置送达、邮寄送达或公告送达等方式，并保留送达证据。同时，医院需告知被处分人有权在收到处分决定之日起30日内向原处分决定单位或上级主管部门申请复核。

5. 办理档案与社会保险转移
   开除手续完成后，医院需将被处分人的人事档案转至其户籍所在地的人才服务机构或公共就业服务机构，并协助办理社会保险关系转移手续，确保其合法权益不受影响。

特殊情形说明：

• 若员工被判缓刑，根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第二十二条，仍可能被开除，但需结合单位内部规章制度及地方性法规综合判断。
  
• 若员工对开除决定不服，可依法申请复核或提出申诉，单位需配合调查并重新作出处理决定。

建议：
医院在处理此类案件时，应严格遵循法定程序，确保每一步均有书面记录，避免因程序瑕疵引发劳动争议。如有疑问，可直接向我咨询具体操作细节。