结论：入职16天后出现疾病，用人单位一般不能随意辞退员工，但具体是否构成合法辞退需根据疾病性质、劳动合同约定及法律规定综合判断。以下从不同角度详细分析：

一、疾病是否属于“不能胜任工作”或“严重违反规章制度”

1. 若疾病导致员工不能胜任工作：

   • 根据《劳动合同法》第四十条，劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
   • 但，入职仅16天，通常难以证明员工“不能胜任工作”，且用人单位需承担举证责任，证明已提供培训或调整岗位后员工仍不能胜任。

2. 若疾病与“严重违反规章制度”无关：

   • 用人单位不得以员工患病为由直接辞退，除非疾病导致员工严重违反公司规章制度（如传染病未采取防护措施导致公司停工等极端情况）。
   • 但，此类情况需有明确规章制度依据，且规章制度需经民主程序制定并公示。

二、疾病是否属于“医疗期”范围

1. 医疗期定义：

   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
   • 医疗期长度根据员工实际工作年限和在本单位工作年限确定，最短3个月，最长24个月。

2. 入职16天是否享受医疗期：

   • 即使入职时间短，员工仍可能享受医疗期（具体时长需根据实际工作年限计算，但入职16天通常按最低标准计算）。
   • 在医疗期内，用人单位不得以非过失性理由（如不能胜任工作、客观情况重大变化等）解除劳动合同。

三、劳动合同是否有特殊约定

1. 若劳动合同约定“试用期因病可辞退”：

   • 此类条款可能无效。根据《劳动合同法》第二十六条，用人单位免除自己的法定责任、排除劳动者权利的条款无效。
   • 试用期辞退需符合《劳动合同法》第三十九条（如不符合录用条件）或第四十条（如不能胜任工作）的规定，且需提供充分证据。

2. 若劳动合同无特殊约定：

   • 用人单位需遵守一般劳动法规定，不得随意辞退患病员工。

四、用人单位可能面临的法律后果

1. 违法辞退的赔偿：

   • 若用人单位违法辞退员工，需支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍）。
   • 经济补偿金按员工在本单位工作年限计算，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的，按1年计算；不满6个月的，支付半个月工资。

2. 继续履行劳动合同：

   • 员工可要求用人单位继续履行劳动合同，或支付赔偿金后终止劳动关系。

五、建议

1. 对员工：

   • 保留医疗证明、劳动合同等证据，若被辞退可申请劳动仲裁主张权益。
   • 及时与用人单位沟通，了解辞退理由及依据。

2. 对用人单位：

   • 辞退患病员工需谨慎，确保符合法律规定及劳动合同约定。
   • 优先与员工协商解除劳动合同（如支付经济补偿金），避免法律风险。

总结：入职16天后出现疾病，用人单位一般不能随意辞退员工。若需辞退，需符合《劳动合同法》规定的条件（如不能胜任工作、严重违反规章制度等），且需承担举证责任。在医疗期内，用人单位更不得解除劳动合同。如有争议，建议及时咨询专业律师或申请劳动仲裁。