结论：员工在劳动合同未续签且继续工作3个月的情况下，可以主张多项权利，主要包括要求用人单位支付未续签劳动合同期间的双倍工资差额、要求签订书面劳动合同或终止劳动关系并获得经济补偿，以及享受其他因劳动关系存续而产生的相关权益。
详细分析：
要求支付双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。在您的情况下，劳动合同到期后未续签，但员工继续工作，这构成了事实上的劳动关系，用人单位未续签书面劳动合同，因此应支付双倍工资差额。
- 计算方式：双倍工资差额的计算基数通常是员工的基本工资，计算期间为自劳动合同到期之次日起至实际签订书面劳动合同或终止劳动关系之日止，但最长不超过十一个月（因为超过一年未签订书面劳动合同，将视为已订立无固定期限劳动合同）。在您的情况下，如果继续工作了3个月，那么可以主张这3个月的双倍工资差额（扣除已支付的正常工资部分）。
要求签订书面劳动合同或终止劳动关系并获得经济补偿：
- 签订书面劳动合同：员工有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 终止劳动关系并获得经济补偿：如果员工不愿意继续在用人单位工作，或者用人单位拒绝签订书面劳动合同，员工可以选择终止劳动关系，并依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定获得经济补偿。经济补偿的计算通常基于员工在用人单位的工作年限和月工资水平。
享受其他因劳动关系存续而产生的相关权益：
- 社会保险和福利待遇：在劳动关系存续期间，员工有权享受用人单位提供的社会保险和福利待遇，如养老保险、医疗保险、失业保险等。
- 工资和加班费：员工有权获得与其工作相对应的工资和加班费，用人单位不得无故拖欠或克扣。
- 休息休假：员工有权享受国家规定的休息休假制度，用人单位不得随意剥夺或限制。
建议与行动：
- 与用人单位协商：首先，您可以尝试与用人单位进行协商，明确表达您的诉求和依据，看是否能够达成一致意见并签订书面劳动合同或获得相应的补偿。
- 收集证据：如果协商无果，您需要收集相关证据，如工资单、工作记录、同事证言等，以证明您与用人单位之间存在事实上的劳动关系以及用人单位未续签书面劳动合同的事实。
- 申请劳动仲裁：在收集到足够证据后，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位支付双倍工资差额、签订书面劳动合同或终止劳动关系并获得经济补偿等。
- 寻求法律援助：如果您在劳动仲裁过程中遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议和支持。